Seja F(x, y)=(3 x^2+y^2, 2 x y) e seja C a curva dada pelo semicírculo inferior x^2+y^2=4 ligando os pontos (-2,0) até (2,0).
Calcule integralC F cdot d r diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e é o semicírculo inferior da circunferência , ligando os pontos até . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha de campos vetoriais e parametrizar a curva .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta . Como y = 2 sin theta é o semicírculo inferior de raio 2, podemos usar a parametrização em termos do ângulo . Uma circunferência de raio 2 é dada por:
Como queremos o semicírculo inferior, varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dxdtheta = -2 sin theta , que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando dydtheta = 2 cos theta e dr = (dxdtheta, dydtheta) dtheta = (-2 sin theta, 2 cos theta) dtheta em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(x, y) = (3x^2 + y^2, 2xy) = (3(2 cos theta)^2 + (2 sin theta)^2, 2(2 cos theta)(2 sin theta)) em termos de F(theta) = (12 cos^2 theta + 4 sin^2 theta, 8 cos theta sin theta) :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = (12 cos^2 theta + 4 sin^2 theta)(-2 sin theta) + (8 cos theta sin theta)(2 cos theta) :
= -2 sin theta (12 cos^2 theta + 4 sin^2 theta) + 16 cos^2 theta sin theta
Simplificando termo a termo:
= -24 cos^2 theta sin theta - 8 sin^3 theta + 16 cos^2 theta sin theta
= (-24 + 16) cos^2 theta sin theta - 8 sin^3 theta
= -8 cos^2 theta sin theta - 8 sin^3 theta
= -8 sin theta (cos^2 theta + sin^2 theta)
F cdot dr = -8 sin theta
Como , então:

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralC F cdot d r = integralpi^0 -8 sin theta , dtheta
Podemos trocar os limites de integração e mudar o sinal:
= integral0^pi 8 sin theta , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^pi 8 sin theta , dtheta = 8 integral0^pi sin theta , dtheta
A integral de = 8 [-cos theta ]0^pi é = 8 [-cos pi + cos 0] , então:
= 8 [-(-1) + 1] = 8 (1 + 1) = 8 times 2 = 16
Sabendo que e :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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