Seja
e seja
a curva dada pelo semicírculo inferior
ligando os pontos
até
.
Calcule
diretamente.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e
é o semicírculo inferior da circunferência
, ligando os pontos
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha de campos vetoriais e parametrizar a curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é o semicírculo inferior de raio 2, podemos usar a parametrização em termos do ângulo
. Uma circunferência de raio 2 é dada por:
Como queremos o semicírculo inferior,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo vetorial
em termos de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando termo a termo:
Como
, então:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Podemos trocar os limites de integração e mudar o sinal:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
A integral de
é
, então:
Sabendo que
e
:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.