Resolva a equação de onda
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
dadas as seguintes condições
& u(0, t)=0, u(L, t)=0 & u(x, 0)= 2 h xL & 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer resolver a equação de onda:
partial^2 upartial t^2 = a^2 partial^2 upartial x^2
com as seguintes condições de contorno e iniciais:
& u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 & u(x, 0) = 2 h xL & 0 < x < L2 2 h (1 - xL) & L2 < x < L & partial upartial t|t=0 = 0
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Precisamos entender um pouco sobre essas técnicas para aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x) T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de e outra de :
Isso é a base da separação de variáveis e ajuda a simplificar a equação de onda.

Passo 3

Substituindo X(x) d^2 T(t)dt^2 = a^2 T(t) d^2 X(x)dx^2 na equação de onda:
1a^2 T(t) d^2 T(t)dt^2 = 1X(x) d^2 X(x)dx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.

Passo 4

Agora temos duas equações separadas:
  1. Para d^2 X(x)dx^2 + lambda X(x) = 0 :
    d^2 T(t)dt^2 + a^2 lambda T(t) = 0
    Com as condições de contorno e .
  2. Para :
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 5

Resolvendo para Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots :
A equação diferencial é uma equação de Sturm-Liouville. As soluções que satisfazem as condições de contorno são funções senoidais:
lambdan = (npiL)^2
E os valores de d^2 Tn(t)dt^2 + a^2 (npiL)^2 Tn(t) = 0 são:
Tn(t) = An cos(npi a tL) + Bn sin(npi a tL)
Resolvendo para :
Para cada , a equação se torna:
A solução geral é:

Passo 6

Então, a solução geral da equação de onda é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi a tL) + Bn sin(npi a tL) ] sin(npi xL)
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais:
  1. Para u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi xL) = 2 h xL & 0 < x < L2 2 h (1 - xL) & L2 < x < L :
    sumn=1^infty npi aL Bn sin(npi xL) = 0
    Isso significa que são os coeficientes da série de Fourier da condição inicial de deslocamento.
  2. Para :
    Isso implica que todos os .

Passo 8

Calculando os coeficientes An = 2L integral0^L u(x, 0) sin(npi xL) dx :
Os An = 2L [ integral0^L2 2 h xL sin(npi xL) dx + integralL2^L 2 h (1 - xL) sin(npi xL) dx ] são dados pela fórmula da série de Fourier para funções ímpares (já que as condições de contorno são zero nas extremidades):
Substituindo e dividindo a integral em duas partes:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes.

Passo 9

Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi a tL) sin(npi xL) . Então, a solução final fica:
Onde são os coeficientes calculados a partir das integrais acima.

Resposta

A solução da equação de onda com as condições dadas é:
u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi a tL) sin(npi xL)
Onde os coeficientes An = 2L [ integral0^L2 2 h xL sin(npi xL) dx + integralL2^L 2 h (1 - xL) sin(npi xL) dx ] são determinados por:
Essas integrais devem ser resolvidas para cada para obter os coeficientes específicos.

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