Resolvendo para Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots :
A equação diferencial é uma equação de Sturm-Liouville. As soluções que satisfazem as condições de contorno são funções senoidais:
lambdan = (npiL)^2
E os valores de d^2 Tn(t)dt^2 + a^2 (npiL)^2 Tn(t) = 0 são:
Tn(t) = An cos(npi a tL) + Bn sin(npi a tL)
Resolvendo para :
Para cada , a equação se torna:
A solução geral é:
Passo 6
Então, a solução geral da equação de onda é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi a tL) + Bn sin(npi a tL) ] sin(npi xL)
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais:
Para u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi xL) = 2 h xL & 0 < x < L2 2 h (1 - xL) & L2 < x < L :
sumn=1^infty npi aL Bn sin(npi xL) = 0
Isso significa que são os coeficientes da série de Fourier da condição inicial de deslocamento.
Para :
Isso implica que todos os .
Passo 8
Calculando os coeficientes An = 2L integral0^L u(x, 0) sin(npi xL) dx :
Os An = 2L [ integral0^L2 2 h xL sin(npi xL) dx + integralL2^L 2 h (1 - xL) sin(npi xL) dx ] são dados pela fórmula da série de Fourier para funções ímpares (já que as condições de contorno são zero nas extremidades):
Substituindo e dividindo a integral em duas partes:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes.
Passo 9
Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi a tL) sin(npi xL) . Então, a solução final fica:
Onde são os coeficientes calculados a partir das integrais acima.
Resposta
A solução da equação de onda com as condições dadas é:
u(x, t) = sumn=1^infty An cos(npi a tL) sin(npi xL)
Onde os coeficientes An = 2L [ integral0^L2 2 h xL sin(npi xL) dx + integralL2^L 2 h (1 - xL) sin(npi xL) dx ] são determinados por:
Essas integrais devem ser resolvidas para cada para obter os coeficientes específicos.