Use uma integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado por y = x^2 e pelos planos z = 0 e y + z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido limitado pela parábola e pelos planos e . Vamos usar uma integral tripla para encontrar esse volume. Para isso, precisamos entender como definir os limites de integração nas três direções: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. A parábola nos dá o limite em em termos de . Os planos e delimitam a altura do sólido em . Nosso objetivo é determinar os limites para cada variável.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites para . Observando a parábola e sabendo que deve ser não negativa, varia de um valor mínimo a um máximo que define o intervalo onde a parábola está dentro do sólido. Para simplificar, vamos considerar variando de a , já que é o ponto onde a parábola atinge .

Passo 4

Agora, para cada valor de , varia de até (porque quando , ). Então, os limites para são de a .

Passo 5

Para , ele varia de (plano inferior) até (porque rearranja para ). Então, os limites para são de a .

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral em :
Agora, nossa integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral em :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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