Use uma integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
sólido limitado por
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido limitado pela parábola
e pelos planos
e
. Vamos usar uma integral tripla para encontrar esse volume. Para isso, precisamos entender como definir os limites de integração nas três direções:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A parábola
nos dá o limite em
em termos de
. Os planos
e
delimitam a altura do sólido em
. Nosso objetivo é determinar os limites para cada variável.
Passo 3
Vamos começar determinando os limites para
. Observando a parábola
e sabendo que
deve ser não negativa,
varia de um valor mínimo a um máximo que define o intervalo onde a parábola está dentro do sólido. Para simplificar, vamos considerar
variando de
a
, já que
é o ponto onde a parábola atinge
.
Passo 4
Agora, para cada valor de
,
varia de
até
(porque quando
,
). Então, os limites para
são de
a
.
Passo 5
Para
, ele varia de
(plano inferior) até
(porque
rearranja para
). Então, os limites para
são de
a
.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral em
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.