Seja
e seja
a curva dada pelo semicírculo inferior
ligando os pontos
até
.
Verifique que o campo
é conservativo e determine uma função potencial
tal que
.
Verifique que o campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que é o semicírculo inferior de raio 2, ligando os pontos
até
. Nosso objetivo é verificar se esse campo
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais, além de conhecer o operador gradiente
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
é o gradiente de
, ou seja,
. Isso implica que o trabalho feito pelo campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo em duas dimensões é verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Se
, então para
ser conservativo, deve valer:
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
satisfaz a condição para ser conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos determinar
usando a segunda equação
. Diferenciando
em relação a
:
Igualando as expressões:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos assumir
, onde
é constante.
Resposta
A função potencial é
, onde
é uma constante real.