Seja F(x, y) = (3 x^2 + y^2, 2 x y) e seja C a curva dada pelo semicírculo inferior x^2 + y^2 = 4 ligando os pontos (-2,0) até 2,0.
Verifique que o campo F é conservativo e determine uma função potencial f tal que F = nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma curva que é o semicírculo inferior de raio 2, ligando os pontos até . Nosso objetivo é verificar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial tal que .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e funções potenciais, além de conhecer o operador gradiente .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que é o gradiente de , ou seja, . Isso implica que o trabalho feito pelo campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo em duas dimensões é verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Se , então para ser conservativo, deve valer:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo . Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo satisfaz a condição para ser conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos determinar usando a segunda equação . Diferenciando em relação a :
Igualando as expressões:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos assumir , onde é constante.

Resposta

A função potencial é , onde é uma constante real.

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