Seja A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & 5 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 1 & -1\end{array}\right]. Calcule \operatorname{det}(A).
(Dica: Compare as duas primeiras colunas.)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2\\\\ 2 & 1 & 5 & 3\\\\ 1 & 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e pede \det(A). O conteúdo é determinante de matriz 4\times4 e vamos usar operações em colunas (que preservam o determinante) e, em seguida, expansão de Laplace.

Passo 2

Note que se substituirmos a segunda coluna por \text{C}_2 - \text{C}_1, o determinante não muda. Calculamos
\text{C}_2' = \text{C}_2 - \text{C}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
A matriz fica
A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2\\\\ 2 & -1 & 5 & 3\\\\ 1 & 0 & 2 & 3\\\\ 2 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
e \det(A')=\det(A).

Passo 3

Expandindo \det(A') pela segunda coluna, só há um elemento não nulo, em posição (2,2), igual a -1. Logo,
\det(A) =\det(A') =(-1)^{2+2}\,(-1)\,\det(M) =-1\cdot\det(M),
onde M é o menor obtido ao eliminar linha 2 e coluna 2 de A'.

Passo 4

O menor M é a matriz 3\times3 formada pelas linhas 1, 3, 4 e colunas 1, 3, 4 de A':
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos \det(M) por regra de Sarrus ou cofactores:
\det(M) =1\cdot\begin{vmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}1&3\\\ 2&-1\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}1&2\\\ 2&1\end{vmatrix}.
Cada menor é
\begin{vmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{vmatrix} =2\cdot(-1)-3\cdot1=-5, \quad \begin{vmatrix}1&3\\\ 2&-1\end{vmatrix} =1\cdot(-1)-3\cdot2=-7, \quad \begin{vmatrix}1&2\\\ 2&1\end{vmatrix} =1\cdot1-2\cdot2=-3.
Assim
\det(M) =1\cdot(-5)-2\cdot(-7)+2\cdot(-3) =-5+14-6=3.

Passo 5

Voltando a \det(A):
\det(A)=-1\cdot\det(M)=-1\cdot3=-3.

Resposta

-3

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