Encontre soluções da EDO,
[1.]
t^{2} u^{\prime}=u, quad para \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial ordinária dada por
t^{2}u'(t)=u(t),
para t>0. As informações fornecidas são:
  • A incógnita é a função u, dependente da variável t.
  • Está explícito que a equação vale apenas para t>0.
  • O objetivo é obter a família geral de soluções u(t) definida em t>0.

Passo 2

Interpretando a equação e escolhendo o método. Primeiro, explico o que significa u'(t): é a derivada de u em relação a t, isto é, a taxa de variação de u quando t muda. A equação pode ser reescrita isolando u':
u'(t)=\frac{u(t)}{t^{2}}.
Vários métodos poderiam resolver isso (por exemplo, método do fator integrante visto em equações lineares de 1ª ordem). Aqui vou usar separação de variáveis porque a equação permite escrever os termos com u de um lado e termos com t do outro de forma direta — é o caminho mais simples e elementar, fácil de aplicar em prova sem complicação.

Passo 3

Separação de variáveis. Começo escrevendo a equação de forma a separar u e t:
\frac{du}{dt}=\frac{u}{t^{2}}.
Supondo temporariamente u(t)\neq 0 (tratamos o caso u\equiv 0 depois), podemos dividir por u e multiplicar por dt para obter
\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende somente de u e o direito somente de t. Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

Integração das duas partes. Vou integrar cada lado em relação à sua variável:
\int \frac{1}{u}\,du = \int \frac{1}{t^{2}}\,dt.
Explico as integrais: a primitiva de 1/u é \ln|u|. A primitiva de t^{-2} é -t^{-1}=-\dfrac{1}{t}, porque ao derivar -1/t obtém-se 1/t^{2}. Assim obtemos
\ln|u| = -\frac{1}{t} + C,
onde C é a constante de integração (real). Note que escrevemos \ln|u| para cobrir tanto u>0 quanto u<0.

Passo 5

Isolando u. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|u| = e^{C} e^{-1/t}.
Chamando A=e^{C}>0 obtemos |u|=A e^{-1/t}. Isso implica que u pode ser u= \pm A e^{-1/t}. Podemos reunir o sinal e o valor positivo A num único coeficiente real arbitrário C\in\mathbb{R}. Assim a família geral de soluções (incluindo a solução trivial u\equiv 0, que corresponde a C=0) é
u(t)=C\,e^{-1/t},\qquad C\in\mathbb{R},
definida para t>0.

Passo 6

Comentário sobre soluções particulares e unicidade. Se for dado um valor inicial u(t_{0})=u_{0} com t_{0}>0, obtém-se o constante C pelo isolamento:
C=u_{0}e^{1/t_{0}}.
A equação é linear e os coeficientes são contínuos para t>0, então existe e é única a solução que satisfaz esse valor inicial (teorema de existência e unicidade para ODEs de 1ª ordem).

Resposta

u(t)=C\,e^{-1/t},\quad C\in\mathbb{R}

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