Encontre soluções da EDO,
[1.]
para
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial ordinária dada por
para
. As informações fornecidas são:
- A incógnita é a função
, dependente da variável . - Está explícito que a equação vale apenas para
. - O objetivo é obter a família geral de soluções
definida em .
Passo 2
Interpretando a equação e escolhendo o método. Primeiro, explico o que significa
: é a derivada de
em relação a
, isto é, a taxa de variação de
quando
muda. A equação pode ser reescrita isolando
:
Vários métodos poderiam resolver isso (por exemplo, método do fator integrante visto em equações lineares de 1ª ordem). Aqui vou usar separação de variáveis porque a equação permite escrever os termos com
de um lado e termos com
do outro de forma direta — é o caminho mais simples e elementar, fácil de aplicar em prova sem complicação.
Passo 3
Separação de variáveis. Começo escrevendo a equação de forma a separar
e
:
Supondo temporariamente
(tratamos o caso
depois), podemos dividir por
e multiplicar por
para obter
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende somente de
e o direito somente de
. Agora integramos ambos os lados.
Passo 4
Integração das duas partes. Vou integrar cada lado em relação à sua variável:
Explico as integrais: a primitiva de
é
. A primitiva de
é
, porque ao derivar
obtém-se
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração (real). Note que escrevemos
para cobrir tanto
quanto
.
Passo 5
Isolando
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Chamando
obtemos
. Isso implica que
pode ser
. Podemos reunir o sinal e o valor positivo
num único coeficiente real arbitrário
. Assim a família geral de soluções (incluindo a solução trivial
, que corresponde a
) é
definida para
.
Passo 6
Comentário sobre soluções particulares e unicidade. Se for dado um valor inicial
com
, obtém-se o constante
pelo isolamento:
A equação é linear e os coeficientes são contínuos para
, então existe e é única a solução que satisfaz esse valor inicial (teorema de existência e unicidade para ODEs de 1ª ordem).