Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+x=0, x(0)=1, x^{\prime}(0)=-1; família de soluções, x(t)=C e^{-t}+D t e^{-t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
x''+2x'+x=0,\qquad x(0)=1,\qquad x'(0)=-1
e propõe a família de funções
x(t)=C e^{-t}+D t e^{-t},
onde C e D são constantes arbitrárias.
O que se pede:
  • Mostrar, por diferenciação, que a função dada satisfaz a equação diferencial para quaisquer valores de C e D.
  • Usar as condições iniciais para determinar os valores de C e D e, assim, obter a solução particular.

Passo 2

Primeiro, lembrinhas rápidas e úteis sobre diferenciação (para não tropeçarmos nas regras na hora H):
  • A derivada de e^{-t} em relação a t é \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Agora vamos derivar x(t). Escrevendo os termos separadamente:
x(t)=C e^{-t}+D\,(t e^{-t}).
Derivando o primeiro termo:
\frac{d}{dt}\big(C e^{-t}\big) = -C e^{-t}.
Derivando o segundo termo usando a regra do produto com u(t)=t e v(t)=e^{-t}:
\frac{d}{dt}\big(D\,t e^{-t}\big)=D\big(1\cdot e^{-t}+t\cdot(-e^{-t})\big)=D\big(e^{-t}-t e^{-t}\big).
Somando:
x'(t)=\big(-C + D - D t\big)e^{-t}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada x''(t). Podemos ver x'(t) como produto de A(t)=(-C+D-Dt) por e^{-t}. Aplicando a regra do produto de novo:
A'(t)=\frac{d}{dt}(-C+D-Dt)=-D,
portanto
x''(t)=\big(A'(t) e^{-t} + A(t)\cdot(-e^{-t})\big) =\big(A'(t)-A(t)\big)e^{-t}.
Substituindo A(t) e A'(t):
x''(t)=\big(-D -(-C + D - D t)\big)e^{-t}=\big(C-2D + D t\big)e^{-t}.

Passo 4

Agora substituímos x, x' e x'' na expressão da equação diferencial \;x''+2x'+x\; e simplificamos:
x''+2x'+x=\big(C-2D + D t\big)e^{-t} + 2\big(-C + D - D t\big)e^{-t} + \big(C + D t\big)e^{-t}.
Colocando o fator comum e^{-t} em evidência e somando os coeficientes:
\big[(C-2D + D t) + 2(-C + D - D t) + (C + D t)\big]e^{-t}.
Somando termo a termo:
  • Coeficiente de C: C + 2(-C) + C = 0.
  • Coeficiente de D (constante): -2D + 2D + 0 = 0.
  • Coeficiente de D t: D t + 2(-D t) + D t = 0.
Portanto a soma dentro dos colchetes é 0, logo
x''+2x'+x=0\cdot e^{-t}=0
para todo t. Conclusão: a função x(t)=C e^{-t}+D t e^{-t} satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes C e D.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar C e D.
Usando x(0)=1:
x(0)=C e^{0}+D\cdot 0\cdot e^{0}=C=1.
Usando x'(0)=-1 e a expressão que obtivemos para x'(t):
x'(0)=\big(-C + D - D\cdot 0\big)e^{0}=-C+D=-1.
Substituindo C=1:
-1 + D = -1 \quad\Rightarrow\quad D=0.

Passo 6

Com C=1 e D=0 a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
x(t)=1\cdot e^{-t}+0\cdot t e^{-t}=e^{-t}.
Boa! A família geral funcionou direitinho e encontramos a solução que corresponde aos dados iniciais.

Resposta

C=1,\\ D=0
x(t)=e^{-t}

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