Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
; família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
e propõe a família de funções
onde
e
são constantes arbitrárias.
O que se pede:
O que se pede:
- Mostrar, por diferenciação, que a função dada satisfaz a equação diferencial para quaisquer valores de
e . - Usar as condições iniciais para determinar os valores de
e e, assim, obter a solução particular.
Passo 2
Primeiro, lembrinhas rápidas e úteis sobre diferenciação (para não tropeçarmos nas regras na hora H):
- A derivada de
em relação a é . - Regra do produto: se
e são funções, .
Agora vamos derivar
. Escrevendo os termos separadamente:
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo usando a regra do produto com
e
:
Somando:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Podemos ver
como produto de
por
. Aplicando a regra do produto de novo:
portanto
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora substituímos
,
e
na expressão da equação diferencial
e simplificamos:
Colocando o fator comum
em evidência e somando os coeficientes:
Somando termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
(constante): . - Coeficiente de
: .
Portanto a soma dentro dos colchetes é
, logo
para todo
. Conclusão: a função
satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
e
.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Usando
:
Usando
e a expressão que obtivemos para
:
Substituindo
:
Passo 6
Com
e
a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Boa! A família geral funcionou direitinho e encontramos a solução que corresponde aos dados iniciais.