1. Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais.
(a) \log _{3} 5

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor aproximado, com três casas decimais, de \log_{3}5.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • Quer-se a aproximação de \log_{3}5 com três casas decimais.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: a fórmula de mudança de base (change of base). Ela diz que, para quaisquer bases positivas a,b,c com a\neq1 e c\neq1,
\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}.
Por que isso é verdade (explicação curta): se \log_{a} b = x então a^{x}=b. Aplicando \log_{c} aos dois lados vem \log_{c}(a^{x})=\log_{c}b, ou seja x\log_{c}a=\log_{c}b, daí x=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}.

Passo 3

Escolha da base para cálculo: é comum usar base 10 ou base e porque existem tabelas/valores conhecidos. Vou usar base 10 (logaritmo decimal), escrevendo \log para \log_{10}. Então
\log_{3}5=\frac{\log 5}{\log 3}.
Observação útil: \log 5=\log(10/2)=\log 10 - \log 2 = 1 - \log 2. Logo podemos escrever também
\log_{3}5=\frac{1-\log 2}{\log 3}.

Passo 4

Valores decimais conhecidos (tabelas ou calculadora; são valores padrão):
\log 2 \approx 0{,}301030 e \log 3 \approx 0{,}477121.
Então
\log 5 = 1 - \log 2 \approx 1 - 0{,}301030 = 0{,}698970.
Agora dividimos:
\log_{3}5 \approx \frac{0{,}698970}{0{,}477121}.

Passo 5

Cálculo da divisão e arredondamento (passo a passo e verificação rápida).
Uma verificação prática: testar o candidato \,1{,}465. Multiplicando de volta
0{,}477121\times 1{,}465 =0{,}477121\times(1+0{,}4+0{,}06+0{,}005)
=0{,}477121+0{,}1908484+0{,}02862726+0{,}002385605 =0{,}698982265.
O produto é 0{,}698982265, muito próximo de 0{,}698970; a pequena diferença 1{,}2265\times10^{-5} mostra que 1{,}465 é uma boa aproximação. Se for preciso a divisão com mais precisão (por exemplo usando \ln): \ln 5\approx1{,}609438 e \ln 3\approx1{,}098612 dão \dfrac{\ln 5}{\ln 3}\approx1{,}4649735\ldots que arredonda para 1{,}465 com três casas decimais (porque a quarta casa é 9, então sobe a terceira).

Resposta

\log_{3}5 \approx 1{,}465

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