Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis.
raiz1-x^2 d yd x+y^3=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
raiz1 - x^2,d yd x + y^3 = 0,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é equação diferencial separável, ou seja, podemos escrever d yd x como função de x vezes função de y e integrar.

Passo 2

Isolamos d yd x:
raiz1 - x^2;d yd x = -,y^3 Longrightarrow d yd x = -,y^3raiz1 - x^2

Passo 3

Separamos variáveis e escrevemos a integral:
integral y^-3,d y = -integral 1raiz1 - x^2,d x

Passo 4

Calculamos as integrais. No lado esquerdo,
integral y^-3,d y = -12,y^2 + C1,
e no direito
integral 1raiz1 - x^2,d x = arcsin(x) + C2
Igualando e reunindo constantes, fica
-12,y^2 = -,arcsin(x) + C Longrightarrow 12,y^2 = arcsin(x) + C

Passo 5

Usamos y(1)=1. Como arcsin(1)=tfracpi2,
12cdot1^2 = 12 = pi2 + C Longrightarrow C = 12 - pi2 = 1-pi2
Logo
12,y^2 = arcsin(x) + 1-pi2 Longrightarrow y^2 = 12,arcsin(x) + 1 - pi
Como y(1)=1>0, escolhemos o ramo positivo.

Resposta

y(x) = 1raiz,2,arcsin(x) + 1 - pi,

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