Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \tan ^{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^3(x),dx. O conteúdo aqui é integração de potência ímpar de tangente e a gente vai precisar da identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1 e da integral de tan(x).

Passo 2

Usando tan^3(x)=tan^2(x)cdottan(x) e a identidade citada, reescrevemos o integrando: tan^3(x)=l(sec^2(x)-1r)tan(x).
Com isso, a integral se separa em duas partes: integraltan^3(x),dx=integraltan(x)sec^2(x),dx-integraltan(x),dx.

Passo 3

Para integraltan(x)sec^2(x),dx, usamos a substituição u=tan(x), daí du=sec^2(x),dx. A integral vira integral u,du=u^22=tan^2(x)2.
A integral integraltan(x),dx é conhecida e vale -ln|cos(x)|.

Passo 4

Agora é só combinar os resultados: integraltan^3(x),dx=tan^2(x)2-l(-ln|cos(x)|r)+C=tan^2(x)2+ln|cos(x)|+C.

Resposta

12tan^2(x)+ln|cos(x)|+C

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