Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \sin (5 x) \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(5x)cos(3x),dx
Isso envolve integração de produto de funções trigonométricas, então vamos usar uma identidade de produto-para-soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(A)cos(B) = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Tomando A=5x e B=3x, obtemos
sin(5x)cos(3x) = tfrac12l[sin(8x)+sin(2x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral sin(5x)cos(3x),dx = tfrac12integral sin(8x),dx ;+; tfrac12integral sin(2x),dx

Passo 4

Sabendo que integral sin(kx),dx = -tfrac1kcos(kx), temos
tfrac12integral sin(8x),dx = -tfrac12cdottfrac18cos(8x) = -cos(8x)16,
tfrac12integral sin(2x),dx = -tfrac12cdottfrac12cos(2x) = -cos(2x)4

Passo 5

Somando as parcelas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
- cos(8x)16 ;-; cos(2x)4 ;+; C

Resposta

- cos(8x)16 - cos(2x)4 + C

Exercícios relacionados