Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \frac{d x}{\tan (x)-1}

Passo 1

O enunciado pede a integral
I = integral dxtan(x) - 1
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica e vamos usar a identidade de soma de ângulos para a tangente. Em particular, faremos a substituição
t = x - pi4,
pois tanl(t+tfracpi4r) se relaciona com tan t de forma a simplificar tan x -1.

Passo 2

Com t = x - tfracpi4 temos dx = dt e
tan(x) ;=;tanl(t + tfracpi4r) =tan t + 11 - tan t
Então
tan(x) - 1 =tan t + 11 - tan t ;-;1 =tan t + 1 - (1 - tan t)1 - tan t =2,tan t1 - tan t
e, portanto,
1tan(x)-1 =1-tan t2,tan t =12l(cot t - 1r)
Logo a integral vira
I = integral dxtan(x)-1 = integral 12l(cot t - 1r),dt

Passo 3

Agora integramos em t:
I =12integral cot t,dt ;-;12integral dt =12lnl|sin tr| ;-;t2+C

Resposta

Substituindo t = x - tfracpi4,
integral dxtan(x)-1 =12ln!l|sinl(x - tfracpi4r)r| ;-;x2 ;+;C',
onde C' é constante arbitrária.

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