Resolva as integrais das funções trigométricas:
\int \sin ^{2}(x) \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral sin^2(x),cos^2(x),dx
Este é um caso de integração de função trigonométrica usando as identidades de ângulo duplo ( sin(2x)=2sin xcos x) e redução de potência ( sin^2theta=(1-cos(2theta))/2).

Passo 2

Reescrevemos sin^2(x)cos^2(x) em termos de sin(2x). Como
sin(2x)=2sin(x)cos(x),
temos
sin^2(x)cos^2(x) =l(tfracsin(2x)2r)^2 =tfrac14,sin^2(2x)

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral sin^2(x)cos^2(x),dx =tfrac14integral sin^2(2x),dx
Agora aplicamos a redução de potência em sin^2(2x):
sin^2(2x)=tfrac1-cos(4x)2,
logo
integral sin^2(x)cos^2(x),dx =tfrac14integral tfrac1-cos(4x)2,dx =tfrac18integral l(1-cos(4x)r),dx

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral 1,dx = x, integral cos(4x),dx = sin(4x)4

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac18 e reunindo os resultados, obtemos
integral sin^2(x)cos^2(x),dx =18,x -18,sin(4x)4 + C =x8-sin(4x)32+C

Resposta

x8-sin(4x)32+C

Exercícios relacionados