Encontre as soluções gerais das equações diferenciais:
6 d y^2d t-d yd t-y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
6d^2ydt^2-dydt-y=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem; vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rt. Substituindo na equação, obtemos:
6r^2e^rt-re^rt-e^rt=0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero), surge a equação característica:
6r^2-r-1=0

Passo 3

Resolvendo 6r^2-r-1=0 pela fórmula de Bhaskara:
r=1pmraiz(-1)^2-4cdot6cdot(-1)2cdot6=1pmraiz1+2412=1pm512
Assim, as raízes são r1=tfrac12 e r2=-tfrac13.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear das soluções fundamentais:
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t

Resposta

y(t)=C1e^tfract2+C2e^-tfract3

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