Encontre soluções gerais para as seguinte equações de Euler-Cauchy:
4 x^2 y^prime prime+8 x y^prime-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
4x^2y'' + 8x y' - 3y = 0
Nesse tipo de equação, a ideia é assumir uma solução do tipo
y = x^r,
onde r é um expoente a determinar. A partir daí, vamos obter uma equação algébrica (a equação característica) para r.

Passo 2

Supondo y = x^r, temos
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo essas expressões em
4x^2y'' + 8x y' - 3y = 0
vem
4x^2l[r(r-1)x^r-2r] ;+; 8xl[r x^r-1r];-;3x^r ;=;0
Como x^r-2cdot x^2=x^r e x^r-1cdot x=x^r, fatoramos x^r e obtemos a equação característica:
4,r(r-1) + 8r - 3 = 0

Passo 3

Vamos simplificar a equação característica:
4r^2 - 4r + 8r - 3 = 0 Longrightarrow 4r^2 + 4r - 3 = 0
Dividindo tudo por 4,
r^2 + r - tfrac34 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r = -1 pm raiz1 + 32 = -1 pm 22,
logo os dois valores distintos de r são
r1 = tfrac12, r2 = -tfrac32

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler– Cauchy é
y(x) = C1,x^r1 + C2,x^r2 = C1,x^tfrac12 + C2,x^-tfrac32,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1,x^tfrac12 + C2,x^-tfrac32

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