Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apreseute um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^3 x+C2 x e^3 x.

Passo 1

O enunciado pede valores de (alpha,beta) tais que a equação diferencial
y''+alpha,y'+beta,y=0
tenha como solução geral
y(x)=C1e^3x+C2,x,e^3x
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e suas raízes características.

Passo 2

Para uma equação homogênea de coeficientes constantes, consideramos a equação característica
r^2+alpha,r+beta=0

Passo 3

A solução geral
y(x)=C1e^3x+C2,x,e^3x
corresponde à raiz dupla r=3. Logo, a equação característica deve ser
(r-3)^2=0

Passo 4

Expandindo (r-3)^2 obtemos
(r-3)^2=r^2-6r+9
Comparando com r^2+alpha,r+beta concluímos
alpha=-6, beta=9

Resposta

alpha=-6, beta=9.

Exercícios relacionados