Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{l}x(0) \\\ y(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de primeira ordem
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}x(0)\y(0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ -5\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por diagonalização de A. Vamos achar autovalores e autovetores de
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{pmatrix},
montar a solução geral e impor as condições iniciais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\\ 3 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot3 =\lambda^2-1.
Igualando a zero, obtemos os autovalores
\lambda^2-1=0\;\Longrightarrow\;\lambda_1=1,\;\lambda_2=-1.

Passo 3

Para cada \lambda achamos um autovetor não nulo:
  • Se \lambda_1=1, resolvemos
    (A-I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;x-y=0,
    daí v_1=(1,1)^T.
  • Se \lambda_2=-1, resolvemos
    (A+I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;3x-y=0,
    daí v_2=(1,3)^T.

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = c_1 e^{\lambda_1 t}v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}v_2 = c_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.
Isto é,
x(t)=c_1 e^{t}+c_2 e^{-t},\quad y(t)=c_1 e^{t}+3c_2 e^{-t}.

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0:
x(0)=c_1+c_2=-1,\quad y(0)=c_1+3c_2=-5.
Subtraindo a primeira da segunda:
(c_1+3c_2)-(c_1+c_2)=-5-(-1) \;\Longrightarrow\;2c_2=-4\;\Longrightarrow\;c_2=-2,
e então c_1=-1-c_2=-1+2=1.

Resposta

x(t)=e^{t}-2e^{-t},\qquad y(t)=e^{t}-6e^{-t}.

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