Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}-y=f(x) ; y(0)=y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação não homogênea
y''-y = f(x)
usando variação de parâmetros e, em seguida, aplicar as condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0
para obter a solução do problema de valor inicial (PVI). Vamos primeiro encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Determinamos a solução geral da equação homogênea associada
y''-y=0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm1.
Logo as duas soluções fundamentais são
y_1(x)=e^x,\quad y_2(x)=e^{-x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1e^x + C_2e^{-x}.

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, usamos
W(y_1,y_2) = y_1\,y_2' - y_1'\,y_2 = e^x(-e^{-x}) - (e^x)(e^{-x}) = -2.
A fórmula para uma solução particular é
y_p(x) = -\,y_1(x)\int \frac{y_2(x)\,f(x)}{W(y_1,y_2)}\,dx -\,y_2(x)\int \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(y_1,y_2)}\,dx.
Como W=-2, isso dá
y_p(x) = \frac12\Bigl[e^x\!\int e^{-x}f(x)\,dx \;-\; e^{-x}\!\int e^x f(x)\,dx\Bigr].

Passo 4

Reunindo, a solução geral da equação completa é
y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} + \frac12\Bigl[e^x\!\int e^{-x}f(x)\,dx \;-\; e^{-x}\!\int e^x f(x)\,dx\Bigr].

Passo 5

Para o PVI, escolhemos constantes de integração nos integrais de y_p de modo que as integrais comecem em 0:
y_p(x) = \frac12\Bigl[e^x\!\int_{0}^{x}e^{-s}f(s)\,ds \;-\;e^{-x}\!\int_{0}^{x}e^{s}f(s)\,ds\Bigr].
Então
y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} + y_p(x).
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0, verifica-se facilmente que C_1=C_2=0.

Resposta

Solução geral:
y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} + \frac12\Bigl[e^x\!\int e^{-x}f(x)\,dx \;-\; e^{-x}\!\int e^x f(x)\,dx\Bigr].
Solução do PVI y(0)=y'(0)=0:
y(x) = \frac12\Bigl[e^x\!\int_{0}^{x}e^{-s}f(s)\,ds \;-\;e^{-x}\!\int_{0}^{x}e^{s}f(s)\,ds\Bigr].

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