Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação não homogênea
usando variação de parâmetros e, em seguida, aplicar as condições iniciais
para obter a solução do problema de valor inicial (PVI). Vamos primeiro encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Determinamos a solução geral da equação homogênea associada
A equação característica é
Logo as duas soluções fundamentais são
e a solução geral da homogênea é
Passo 3
Pelo método de variação de parâmetros, usamos
A fórmula para uma solução particular é
Como
, isso dá
Passo 4
Reunindo, a solução geral da equação completa é
Passo 5
Para o PVI, escolhemos constantes de integração nos integrais de
de modo que as integrais comecem em 0:
Então
Impondo
e
, verifica-se facilmente que
.
Resposta
Solução geral:
Solução do PVI
: