Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=e^{3 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 7y' + 10y = e^{3x}
usando variação de parâmetros e, em seguida, a solução do problema de valor inicial (PVI) com
y(0)=1,\quad y'(0)=2.
Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois usar variação de parâmetros para a particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 7y' + 10y = 0.
O polinômio característico é
r^2 -7r +10=0,
cuja solução são
r=2\quad\text{e}\quad r=5.
Logo, a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{5x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y_1=e^{2x},\quad y_2=e^{5x}.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = e^{2x}\cdot5e^{5x} -2e^{2x}\cdot e^{5x} =3e^{7x}.

Passo 4

As fórmulas para os coeficientes variáveis são
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W},\quad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
com f(x)=e^{3x}. Então
u_1' = -\frac{e^{3x}\,e^{5x}}{3e^{7x}} = -\frac{e^{x}}{3}, \quad u_2' = \frac{e^{3x}\,e^{2x}}{3e^{7x}} = \frac{e^{-2x}}{3}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = \int -\frac{e^{x}}{3}\,dx = -\frac{e^{x}}{3}, \quad u_2 = \int \frac{e^{-2x}}{3}\,dx = -\frac{e^{-2x}}{6}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = -\frac{e^{x}}{3}e^{2x} \;-\;\frac{e^{-2x}}{6}e^{5x} = -\frac{e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{6} = -\frac{e^{3x}}{2}.

Passo 7

Assim, a solução geral da não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{5x} - \tfrac12 e^{3x}.
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=2:
1. y(0)=C_1 + C_2 - \tfrac12 =1 \Rightarrow C_1 + C_2 = \tfrac32. 2. Calculando y'(x)=2C_1 e^{2x}+5C_2 e^{5x}-\tfrac32 e^{3x},
em x=0
2C_1 +5C_2 -\tfrac32 =2 \Rightarrow 2C_1 +5C_2 = \tfrac72.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac32,\\\\ 2C_1 +5C_2 = \tfrac72, \end{cases}
obtemos
C_2 = \tfrac16, \quad C_1 = \tfrac43.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{4}{3}e^{2x} \;+\;\frac{1}{6}e^{5x} \;-\;\frac{1}{2}e^{3x}.

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