Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-x} x^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação
y'' + 2y' + y = e^{-x}x^{-4},
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0,
com raiz dupla r=-1. Logo uma base de soluções é
y_1 = e^{-x}, \quad y_2 = x\,e^{-x}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 x\,e^{-x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros, colocamos
y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2
e usamos o sistema
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0,\\\ u_1' y_1' + u_2' y_2' = e^{-x}x^{-4}. \end{cases}
Calculamos primeiro o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{-x}\bigl(e^{-x}-x e^{-x}\bigr)-(-e^{-x})\bigl(x e^{-x}\bigr) = e^{-2x}.

Passo 4

As fórmulas para u_1' e u_2' são
u_1' = -\frac{y_2\cdot\bigl(e^{-x}x^{-4}\bigr)}{W}, \quad u_2' = \frac{y_1\cdot\bigl(e^{-x}x^{-4}\bigr)}{W}.
Substituindo
u_1' = -\frac{x e^{-x}\;e^{-x}x^{-4}}{e^{-2x}} = -\,x^{-3}, \quad u_2' = \frac{e^{-x}\;e^{-x}x^{-4}}{e^{-2x}} = x^{-4}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(x) = \int (-x^{-3})\,dx = \frac{1}{2x^2}, \quad u_2(x) = \int x^{-4}\,dx = -\frac{1}{3x^3}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \frac{1}{2x^2}e^{-x} -\frac{1}{3x^3}\bigl(x e^{-x}\bigr) = e^{-x}\Bigl(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{3x^2}\Bigr) = \frac{e^{-x}}{6x^2}.
Somando à homogênea, a solução geral fica
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x\,e^{-x} + \frac{e^{-x}}{6x^2}.

Resposta

y(x) = e^{-x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{1}{6x^2}\Bigr).

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