Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}+y=\sin ^{2} x, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
y'' + y = \sin^2 x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando variação de parâmetros. O conteúdo envolve:
  1. Resolver a eq. homogênea associada.
  2. Encontrar duas soluções fundamentais.
  3. Calcular uma solução particular por variação de parâmetros.
  4. Ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r=\pm i.
Dessa forma as soluções fundamentais são
y_1(x)=\cos x, \quad y_2(x)=\sin x,
e a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, buscamos
y_p(x) =-y_1(x)\!\int\frac{y_2(x)\,\sin^2x}{W(x)}\,dx +y_2(x)\!\int\frac{y_1(x)\,\sin^2x}{W(x)}\,dx,
onde o Wronskiano é
W(x)= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =1.
Calculamos as integrais:
\int \sin x\sin^2x\,dx =\int\sin^3x\,dx =-\cos x+\frac{\cos^3x}{3},
\int \cos x\sin^2x\,dx =\frac{\sin^3x}{3}.
Substituindo,
y_p =-\cos x\Bigl(-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}\Bigr) +\sin x\Bigl(\frac{\sin^3x}{3}\Bigr) =\cos^2x-\frac{\cos^4x}{3}+\frac{\sin^4x}{3}.

Passo 4

Para simplificar usamos
\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}, \quad \sin^4x-\cos^4x=-\cos2x.
Logo
y_p(x)=\frac12+\frac{\cos2x}{6}.

Passo 5

A solução geral é
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac12+\frac{\cos2x}{6}.
Derivando,
y'(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x-\frac{\sin2x}{3}.
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
y(0)=C_1+\frac12+\frac16=1\implies C_1=\frac13, \quad y'(0)=C_2=0.
Portanto
y(x)=\frac13\cos x+\frac12+\frac{\cos2x}{6}.

Resposta

y(x)=\frac12+\frac13\cos x+\frac16\cos2x.

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