Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial não-homogênea
Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver primeiro a equação homogênea associada, obter as soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e então aplicar a fórmula de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Estudamos a equação homogênea
A equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Tomamos como soluções fundamentais
O Wronskiano é
Passo 4
Na variação de parâmetros definimos
e
tais que
onde
. Logo
Passo 5
Integramos cada um:
Passo 6
A solução particular é
Passo 7
Portanto, a solução geral da equação dada é
Observação: o termo
pode ser absorvido em
, mas mantivemos a forma completa para destacar a parte particular.