Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} x^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial não-homogênea
y''-2y'+y = e^{x}\,x^{-2}.
Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver primeiro a equação homogênea associada, obter as soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e então aplicar a fórmula de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 2r + 1 = 0\;\Longrightarrow\;(r-1)^{2}=0,
ou seja, raiz dupla r=1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}\,x\,e^{x}.

Passo 3

Tomamos como soluções fundamentais
y_{1}(x)=e^{x},\quad y_{2}(x)=x\,e^{x}.
O Wronskiano é
W(x)= \det\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} e^{x} & x\,e^{x}\\\ e^{x} & (1+x)e^{x} \end{pmatrix} = e^{x}\,(1+x)e^{x}-x\,e^{x}\,e^{x} = e^{2x}.

Passo 4

Na variação de parâmetros definimos u_{1} e u_{2} tais que
u_{1}' = -\frac{f(x)\,y_{2}(x)}{W(x)}, \quad u_{2}' = \frac{f(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde f(x)=e^{x}x^{-2}. Logo
u_{1}' = -\frac{e^{x}x^{-2}\cdot x\,e^{x}}{e^{2x}} = -\frac{e^{2x}}{e^{2x}}\;\frac{x}{x^{2}} = -\frac{1}{x}, \quad u_{2}' = \frac{e^{x}x^{-2}\cdot e^{x}}{e^{2x}} = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Integramos cada um:
u_{1}(x) = -\int \frac{1}{x}\,dx = -\ln\lvert x\rvert, \quad u_{2}(x) = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 6

A solução particular é
y_{p}(x) = u_{1}(x)\,y_{1}(x) + u_{2}(x)\,y_{2}(x) = \bigl(-\ln\lvert x\rvert\bigr)e^{x} + \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\,x\,e^{x} = -e^{x}\ln\lvert x\rvert - e^{x}.

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação dada é
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}\,x\,e^{x} \;-\;e^{x}\bigl(\ln\lvert x\rvert + 1\bigr).
Observação: o termo -e^{x} pode ser absorvido em C_{1}e^{x}, mas mantivemos a forma completa para destacar a parte particular.

Resposta

\boxed{y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\,x\,e^{x}-e^{x}\bigl(\ln\lvert x\rvert+1\bigr),\quad x\neq0.}

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