Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=\sin x e^{-x} ; y(0)=l, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
3\,y''+4\,y'+y=\sin x\,e^{-x}
usando o método de variação de parâmetros e, em seguida, aplicar as condições iniciais
y(0)=l,\quad y'(0)=0
para obter a solução do problema de valor inicial (PVI).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
3\,y''+4\,y'+y=0.
A equação característica é
3r^2+4r+1=0
cuja solução é
r=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{-4\pm2}{6},
isto é
r_1=-\tfrac13,\quad r_2=-1.
Logo a solução complementar é
y_c(x)=C_1\,e^{-x/3}+C_2\,e^{-x}.

Passo 3

Dividindo a EDO original por 3, fica
y''+\tfrac{4}{3}y'+\tfrac{1}{3}y=\tfrac{1}{3}\sin x\,e^{-x}.
Tomamos as soluções fundamentais
y_1=e^{-x/3},\quad y_2=e^{-x},
e calculamos o Wronskiano
W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'&y_2' \end{vmatrix} =e^{-x/3}(-e^{-x})-\bigl(-\tfrac13e^{-x/3}\bigr)e^{-x} =-\tfrac{2}{3}e^{-4x/3}.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos
u_1'=-\frac{f(x)\,y_2}{W},\quad u_2'=\frac{f(x)\,y_1}{W},
onde f(x)=\tfrac{1}{3}\sin x\,e^{-x}. Substituindo obtém-se
u_1'=\tfrac12\,\sin x\,e^{-2x/3},\quad u_2'=-\tfrac12\,\sin x.

Passo 5

Integramos
u_1(x)=\int\tfrac12\sin x\,e^{-2x/3}dx =-\tfrac{1}{26}e^{-2x/3}\bigl(6\sin x+9\cos x\bigr),
u_2(x)=\int\bigl(-\tfrac12\sin x\bigr)dx =\tfrac12\cos x.

Passo 6

A solução particular é
y_p=u_1\,y_1+u_2\,y_2 =-\tfrac{1}{26}e^{-x}\bigl(6\sin x+9\cos x\bigr) +\tfrac12e^{-x}\cos x =\frac{e^{-x}}{13}\bigl(2\cos x-3\sin x\bigr).

Passo 7

A solução geral da EDO é
y(x)=y_c(x)+y_p(x) =C_1e^{-x/3}+C_2e^{-x}+\frac{e^{-x}}{13}\bigl(2\cos x-3\sin x\bigr).

Passo 8

Impondo y(0)=l e y'(0)=0:
  1. Em x=0 temos
y(0)=C_1+C_2+\frac{2}{13}=l \;\Longrightarrow\; C_1+C_2=l-\tfrac{2}{13}.
  1. Calculando y'(x) e avaliando em x=0 obtém-se
-C_1/3 -C_2-\tfrac{5}{13}=0 \;\Longrightarrow\; C_1+3C_2=-\tfrac{15}{13}.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1+C_2=l-\tfrac{2}{13},\\\ C_1+3C_2=-\tfrac{15}{13}, \end{cases}
vem
C_1=\frac{39l+9}{26},\quad C_2=-\frac{l+1}{2}.

Resposta

Solução geral:
y(x)=C_1e^{-x/3}+C_2e^{-x}+\frac{e^{-x}}{13}\bigl(2\cos x-3\sin x\bigr).
Solução do PVI ( y(0)=l,\;y'(0)=0):
y(x) =\frac{39l+9}{26}\,e^{-x/3} -\frac{l+1}{2}\,e^{-x} +\frac{e^{-x}}{13}\bigl(2\cos x-3\sin x\bigr).

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