Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\sqrt{x+1} ; y(0)=y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = \sqrt{x+1},
e condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0.
O conteúdo é “variação de parâmetros” para achar uma solução geral de
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = g(x)
e depois impor o PVI. Vamos precisar de:
achar a solução geral da homogênea associada;
montar a fórmula de variação de parâmetros, com y_1,y_2, o Wronskiano e as integrais para u_1 e u_2;
escrever a solução geral e, em seguida, aplicar y(0)=y'(0)=0.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
vimos que o polinômio característico r^2 - 3r + 2 = 0 tem raízes r=1 e r=2. Logo as duas soluções lineares independentes são