Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\sqrt{x+1} ; y(0)=y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = \sqrt{x+1},
e condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0.
O conteúdo é “variação de parâmetros” para achar uma solução geral de
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = g(x)
e depois impor o PVI. Vamos precisar de:
  1. achar a solução geral da homogênea associada;
  2. montar a fórmula de variação de parâmetros, com y_1,y_2, o Wronskiano e as integrais para u_1 e u_2;
  3. escrever a solução geral e, em seguida, aplicar y(0)=y'(0)=0.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
vimos que o polinômio característico r^2 - 3r + 2 = 0 tem raízes r=1 e r=2. Logo as duas soluções lineares independentes são
y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = e^{2x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Pela variação de parâmetros procuramos
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
onde
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}, \quad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},
com g(x)=\sqrt{x+1} e o Wronskiano
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & e^{2x}\\\ e^x & 2e^{2x} \end{vmatrix} = e^x\cdot2e^{2x} - e^x\cdot e^{2x} = e^{3x}.
Assim
u_1'(x) = -\frac{e^{2x}\,\sqrt{x+1}}{e^{3x}} = -e^{-x}\,\sqrt{x+1}, \quad u_2'(x) = \frac{e^{x}\,\sqrt{x+1}}{e^{3x}} = e^{-2x}\,\sqrt{x+1}.
Integramos (constantes de integração serão absorvidas em C_1,C_2):
u_1(x) = -\int e^{-x}\,\sqrt{x+1}\,dx, \quad u_2(x) = \int e^{-2x}\,\sqrt{x+1}\,dx.

Passo 4

Logo uma forma da solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - e^{x}\int e^{-x}\sqrt{x+1}\,dx + e^{2x}\int e^{-2x}\sqrt{x+1}\,dx.
Esta é a solução geral em forma de integrais.

Passo 5

Para satisfazer y(0)=0, y'(0)=0 é conveniente escolher as integrais como definitas de 0 a x. Definimos
U_1(x) = -\int_{0}^{x} e^{-s}\sqrt{s+1}\,ds, \quad U_2(x) = \int_{0}^{x} e^{-2s}\sqrt{s+1}\,ds.
Então
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + e^{x}U_1(x) + e^{2x}U_2(x),
e nota-se imediatamente que U_1(0)=U_2(0)=0. Assim
y(0)=C_1 + C_2 = 0, \quad y'(0)=C_1 +2C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=C_2=0.
Portanto a solução do PVI é justamente
y(x) = e^{x}\,\biggl(-\int_{0}^{x} e^{-s}\sqrt{s+1}\,ds\biggr) + e^{2x}\,\biggl(\int_{0}^{x} e^{-2s}\sqrt{s+1}\,ds\biggr).

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - e^{x}\!\int e^{-x}\sqrt{x+1}\,dx + e^{2x}\!\int e^{-2x}\sqrt{x+1}\,dx. }
Impondo y(0)=y'(0)=0, a solução do PVI fica
\boxed{ y(x) = -\,e^{x}\int_{0}^{x} e^{-s}\sqrt{s+1}\,ds +e^{2x}\int_{0}^{x} e^{-2s}\sqrt{s+1}\,ds. }

Exercícios relacionados