Usando o teste da razão, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão e decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo é teste da razão aplicado à série de termos com fatoriais.

Passo 2

Para investigar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}b_n \quad\text{com}\quad b_n = \biggl|(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)!}\biggr| = \frac{1}{(2n-1)!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a b_n. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{(2(n+1)-1)!}}{\tfrac{1}{(2n-1)!}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}.

Passo 4

Simplificando o fatorial em cima e embaixo, obtemos
\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} =\frac{1}{(2n+1)(2n)}
e portanto
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n(2n+1)} = 0.
Como L=0<1, o teste da razão garante que \sum b_n converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, a série original
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)!}
é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados