A série de Maclaurin para a função sen ( x ) é dada por:
\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{3}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\ldots
Ache a série de Maclaurin para a função coseno ( x ).

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x):
\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
e pede a série de Maclaurin de \cos(x). O conteúdo principal aqui é séries de Taylor/Maclaurin e a operação de derivação termo a termo.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x)
e que, sob condições de convergência (que a série de \operatorname{sen}(x) satisfaz), podemos derivar termo a termo a série: se
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,
então
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_n\,x^{n-1}.

Passo 3

Aplique a derivada termo a termo na série de \operatorname{sen}(x):
\frac{d}{dx}\left(\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) =\frac{(-1)^{n}(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} =\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Logo,
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.

Resposta

\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots

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