Encontre as soluções da inequação quadrática x^{2}-4 x>5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação quadrática
x^{2}-4x>5.
O conteúdo aqui é inequações de segundo grau, em que vamos precisar:
  1. Colocar tudo num só lado e obter a forma padrão
  2. Encontrar as raízes da equação associada
  3. Fazer a análise de sinal do trinômio

Passo 2

Primeiro, trazemos tudo para o lado esquerdo subtraindo 5:
x^{2}-4x-5>0.
Agora temos a inequação na forma padrão \,ax^{2}+bx+c>0 com a=1, b=-4, c=-5.

Passo 3

Estudamos a equação associada
x^{2}-4x-5=0.
O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36.
Assim, as raízes são
x = \frac{4\pm\sqrt{36}}{2} = \frac{4\pm6}{2},
isto é,
x_{1} = 5, \quad x_{2} = -1.

Passo 4

Como a=1>0, a parábola abre para cima e o trinômio x^{2}-4x-5 é positivo fora do intervalo formado pelas raízes. Logo, a solução da inequação é
x\in(-\infty,-1)\,\cup\,(5,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,-1)\cup(5,\infty)

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