Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
(e^x+e^-x) d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(e^x+e^-xr),dydx=y^2,
que é uma equação de variáveis separáveis. Nosso objetivo é separar y e x, integrar e obter a solução geral, depois identificar em quais intervalos em x essa solução existe de forma contínua.

Passo 2

Isolamos dydx e separamos as variáveis:
dydx=y^2e^x+e^-x Longrightarrow dyy^2 =dxe^x+e^-x

Passo 3

Integramos os dois lados. À esquerda,
integral dyy^2 =integral y^-2,dy =-1y
À direita, note que
e^x+e^-x=e^2x+1e^x,
então com a substituição u=e^x, temos du=e^xdx e
integral dxe^x+e^-x =integral du/u(u^2+1)/u =integral duu^2+1 =arctan(u) =arctanl(e^xr)

Passo 4

Juntando as integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos a forma implícita
-1y=arctanl(e^xr)+C Longrightarrow 1y=-arctanl(e^xr)+C'
onde C'=-C é outra constante arbitrária.

Passo 5

Isolando y, a solução geral fica
y(x) =1,C-arctanl(e^xr),,
com CinR constante de integração.

Passo 6

Para que y(x) seja bem definida, o denominador não pode ser zero, ou seja
C-arctanl(e^xr)neq 0
Como arctan(e^x) varia estritamente de 0 (quando xto -infty) até tfracpi2 (quando xto+infty), temos:
  • Se C<= 0 ou C>= tfracpi2, então C-arctan(e^x) nunca se anula e a solução existe para todo xinR.
  • Se 0<C<tfracpi2, existe um único ponto x0 tal que arctan(e^x0)=C, isto é x0=lnl(tan Cr) Nesse caso, a solução está definida em (-infty,x0) e em (x0,+infty), mas não atravessa x0.

Resposta

A solução geral é
y(x)=1,C-arctanl(e^xr),,
e o domínio de validade é qualquer intervalo de x no qual
C-arctanl(e^xr)neq 0
Em particular, se 0<C<tfracpi2 então não passa de x0=ln(tan C); se C<=0 ou C>=tfracpi2, está definida em R.

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