Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação de variáveis separáveis. Nosso objetivo é separar
e
, integrar e obter a solução geral, depois identificar em quais intervalos em
essa solução existe de forma contínua.
Passo 2
Isolamos
e separamos as variáveis:
Passo 3
Integramos os dois lados. À esquerda,
À direita, note que
então com a substituição
, temos
e
Passo 4
Juntando as integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos a forma implícita
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 5
Isolando
, a solução geral fica
com
constante de integração.
Passo 6
Para que
seja bem definida, o denominador não pode ser zero, ou seja
Como
varia estritamente de
(quando
) até
(quando
), temos:
- Se
ou , então nunca se anula e a solução existe para todo . - Se
, existe um único ponto tal que , isto é Nesse caso, a solução está definida em e em , mas não atravessa .
Resposta
A solução geral é
e o domínio de validade é qualquer intervalo de
no qual
Em particular, se
então não passa de
; se
ou
, está definida em
.