Mostre que a área da superfície do cilindro é . Observe que este cilindro não inclui os discos superior e inferior (topo e base).
Passo 1
O enunciado pede a área lateral do cilindro definido por e , sem incluir as bases.
O conteúdo que vamos usar é integração de área em superfícies paramétricas: para uma parametrização , a área é
Passo 2
Parametrizamos a parte lateral do cilindro por ângulo theta e altura z:
r(theta,z)=l(Rcostheta,;Rsintheta,;zr),
onde thetain[0,2pi] e zin[0,h].
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
rtheta = (-Rsintheta,;Rcostheta,;0), rz = (0,0,1)
O produto vetorial é
rtheta times rz = l(Rcostheta,;Rsintheta,;0r),
cujo módulo é
llVert rtheta times rzrrVert =raiz(Rcostheta)^2+(Rsintheta)^2 =R
Passo 4
Aplicando a fórmula da área:
A =integralz=0^hintegraltheta=0^2piR;dtheta,dz =R;l(2pir);l(hr) =2pi R,h