Mostre que a área da superfície do cilindro x^2+y^2=R^2, 0 <= z <= h é 2 pi R h. Observe que este cilindro não inclui os discos superior e inferior (topo e base).

Passo 1

O enunciado pede a área lateral do cilindro definido por x^2+y^2=R^2 e 0<= z<= h, sem incluir as bases.
O conteúdo que vamos usar é integração de área em superfícies paramétricas: para uma parametrização r(u,v), a área é
A=integral duplaD llVert ru times rvrrVert,du,dv

Passo 2

Parametrizamos a parte lateral do cilindro por ângulo theta e altura z:
r(theta,z)=l(Rcostheta,;Rsintheta,;zr),
onde thetain[0,2pi] e zin[0,h].

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
rtheta = (-Rsintheta,;Rcostheta,;0), rz = (0,0,1)
O produto vetorial é
rtheta times rz = l(Rcostheta,;Rsintheta,;0r),
cujo módulo é
llVert rtheta times rzrrVert =raiz(Rcostheta)^2+(Rsintheta)^2 =R

Passo 4

Aplicando a fórmula da área:
A =integralz=0^hintegraltheta=0^2piR;dtheta,dz =R;l(2pir);l(hr) =2pi R,h

Resposta

2pi R h

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