Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
(x+2) y^prime=5-8 y-4 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+2),y' ;=;5 ;-;8,y ;-;4,x,y
Queremos encontrar a solução geral y(x) e o intervalo de definição dessas soluções. Trata-se de uma equação linear na forma y'+P(x),y=Q(x).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo ambos os lados por x+2 (supondo xneq -2):
y' ;+;8+4xx+2,y ;=;5x+2
Note que
8+4xx+2 ;=;4(x+2)x+2 ;=;4,
então a equação fica
y' +4,y = 5x+2

Passo 3

Identificamos P(x)=4. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx = e^integral 4,dx = e^4x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
e^4x,y' +4,e^4x,y = 5,e^4xx+2 Longrightarrow ddxl(e^4xyr) = 5,e^4xx+2
Agora integramos ambos os lados:
e^4xy = integral 5,e^4xx+2,dx +C

Passo 5

Isolando y, temos
y(x) = e^-4x gl(C + 5integral e^4xx+2,dxgr)

Passo 6

A integral integral e^4xx+2,dx não tem primitiva elementar, mas pode ser expressa em termos da função integral exponencial Ei. Fazendo a substituição u=x+2, obtém-se
integral e^4xx+2,dx = e^-8integral e^4uu,du = e^-8,Eil(4ur)+constante = e^-8,Eil(4(x+2)r)+tilde C
Logo a solução geral fica
y(x) = e^-4xl(C1 + 5,e^-8,Eil(4(x+2)r)r),
onde C1 é constante arbitrária.

Passo 7

Como dividimos por x+2, a solução só faz sentido em intervalos que não contenham x=-2. Portanto, as soluções estão definidas em cada um dos intervalos abertos
(-infty,,-2) e (-2,,+infty)

Resposta

boxed y(x) = e^-4xl(C +5,e^-8,Eil(4(x+2)r)r), xin(-infty,-2) ou xin(-2,infty),
onde C é a constante de integração e Ei é a função integral exponencial.

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