Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
Queremos encontrar a solução geral
e o intervalo de definição dessas soluções. Trata-se de uma equação linear na forma
.
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão dividindo ambos os lados por
(supondo
):
Note que
então a equação fica
Passo 3
Identificamos
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 5
Isolando
, temos
Passo 6
A integral
não tem primitiva elementar, mas pode ser expressa em termos da função integral exponencial
. Fazendo a substituição
, obtém-se
Logo a solução geral fica
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Como dividimos por
, a solução só faz sentido em intervalos que não contenham
. Portanto, as soluções estão definidas em cada um dos intervalos abertos
Resposta
onde
é a constante de integração e
é a função integral exponencial.