Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
x d yd x+4 y=x^3-x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
xdydx+4y = x^3-x,
que é linear em y. Para resolvê-la, vamos colocá-la na forma padrão de equação linear e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (admitindo xneq0), obtemos a forma padrão
dydx + 4x,y = x^2 - 1

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = exp!l(integral tfrac4x,dxr) = expl(4ln|x|r) =|x|^4
Como a potência é par, podemos usar mu(x)=x^4 em cada intervalo onde x tem sinal fixo.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por x^4, temos
x^4dydx + 4x^3y = x^4(x^2-1) Longrightarrow ddxl(x^4yr) = x^6 - x^4
Agora integramos ambos os lados:

Passo 5

x^4y = integrall(x^6-x^4r),dx = x^77 - x^55 + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
y = 1x^4l(x^77 - x^55 + Cr) = x^37 - x5 + C,x^-4

Passo 6

Como assumimos xneq0 para dividir por x e definir mu(x), cada solução está definida em um intervalo de x sem incluir zero. Assim o domínio natural da solução geral é
(0,infty)ou(-infty,0),
isto é, em cada intervalo em que x mantém sinal constante.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^37 - x5 + C,x^-4,
definida em cada um dos intervalos (0,infty) ou (-infty,0).

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