Encontre as soluções de mínimos quadrados dos seguintes sistemas:
ll1 & 1 1 & 2 1 & 3

Passo 1

Enunciado resumido e contexto: temos o sistema sobredeterminado de dimensão 3×2
A=1 & 1 1 & 2 1 & 3, x=a b, b=20 40 60
Queremos a solução de mínimos quadrados, ou seja, o vetor x que minimiza |Ax-b|^2.

Passo 2

Para encontrar a solução de mínimos quadrados usamos as equações normais, que vêm da condição de otimização nablax|Ax-b|^2=0, resultando em
A^T A,x = A^T b

Passo 3

Cálculo de A^T A:
A^T A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 1 1 & 2 1 & 3 = 3 & 6 6 & 14

Passo 4

Cálculo de A^T b:
A^T b = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 20 40 60 = 120 280

Passo 5

Solução do sistema normal:
3 & 6 6 & 14 a b= 120 280
Da primeira equação vem a+2b=40. Substituindo na segunda: 6(40-2b)+14b=280 leva a b=20 e então a=40-2cdot20=0.

Passo 6

Verificação e conclusão: ao usar a=0 e b=20 obtemos Ax=b exatamente, mostrando que o ajuste é perfeito e esta é a solução de mínimos quadrados.

Resposta

As soluções de mínimos quadrados são a=0 e b=20.

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