Encontre as soluções de mínimos quadrados dos seguintes sistemas:
Passo 1
Enunciado resumido e contexto: temos o sistema sobredeterminado de dimensão 3×2
Queremos a solução de mínimos quadrados, ou seja, o vetor
x que minimiza
|Ax-b|^2 .
Passo 2
Para encontrar a solução de mínimos quadrados usamos as equações normais, que vêm da condição de otimização
nablax|Ax-b|^2=0 , resultando em
Passo 3
Cálculo de
A^T A :
Passo 4
Cálculo de
A^T b :
Passo 5
Solução do sistema normal:
Da primeira equação vem
a+2b=40 . Substituindo na segunda:
6(40-2b)+14b=280 leva a
b=20 e então
a=40-2cdot20=0 .
Passo 6
Verificação e conclusão: ao usar
a=0 e
b=20 obtemos
Ax=b exatamente, mostrando que o ajuste é perfeito e esta é a solução de mínimos quadrados.
Resposta
As soluções de mínimos quadrados são
a=0 e
b=20 .