Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas funções polinomiais p tais que p(a)=p(b)=1977;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F=pin Pmid p(a)=p(b)=1977 de polinômios é subespaço de . Para isso, a teoria de subespaços vetoriais diz que precisamos checar três propriedades: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos testar se o vetor zero de E pertence a F. O vetor zero em E é a função O(x)=0 para todo xin[a,b]. Então
O(a)=0neq1977e O(b)=0neq1977,
logo Onotin F. Portanto o conjunto F já falha em conter o vetor zero, burlando o primeiro requisito de subespaço.

Passo 3

Além disso, podemos ver falha no fechamento sob soma: se p,qin F, então
(p+q)(a)=p(a)+q(a)=1977+1977=3954neq1977,
ou seja p+qnotin F. Da mesma forma, a multiplicação por escalar lambda p falha para, por exemplo, lambda=2, pois
(2p)(a)=2cdot1977=3954neq1977

Passo 4

Como F não contém o vetor zero e não é fechado sob soma nem escalar, concluímos que F não é subespaço vetorial de E.

Resposta

F não é subespaço vetorial de E, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob soma nem multiplicação por escalar.

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