Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas funções polinomiais p tais que p(a)=p(b);

Passo 1

Nesse exercício, temos o espaço vetorial 𝑬 = mathscrF([a,b],R), ou seja, todas as funções reais definidas em [a,b]. O subconjunto F é formado pelos polinômios p tais que p(a)=p(b). Para mostrar que F é subespaço de E, vamos usar a definição: precisamos verificar se F não é vazio, se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, checamos se a função nula está em F. A função nula, representada pelo polinômio p(x)=0 para todo x, satisfaz p(a)=0 e p(b)=0, logo p(a)=p(b). Isso mostra que F é não vazio.

Passo 3

Agora, vejamos a soma de dois polinômios em F. Suponha que p e q pertençam a F, ou seja, p(a)=p(b) e q(a)=q(b). Então
(p+q)(a)=p(a)+q(a)=p(b)+q(b)=(p+q)(b)

Passo 4

Isso prova que p+q também satisfaz a condição, logo p+qin F.

Passo 5

Por fim, verificamos a multiplicação por escalar. Seja pin F e alphain R. Então
(alpha p)(a)=alpha,p(a)=alpha,p(b)=(alpha p)(b)

Passo 6

Portanto, alpha p também pertence a F.

Passo 7

Como F contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim, F é um subespaço vetorial de E.

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