Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas funções polinomiais
tais que
;
Passo 1
Nesse exercício, temos o espaço vetorial 𝑬 =
, ou seja, todas as funções reais definidas em [a,b]. O subconjunto F é formado pelos polinômios
tais que
. Para mostrar que F é subespaço de E, vamos usar a definição: precisamos verificar se F não é vazio, se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, checamos se a função nula está em F. A função nula, representada pelo polinômio
para todo
, satisfaz
e
, logo
. Isso mostra que F é não vazio.
Passo 3
Agora, vejamos a soma de dois polinômios em F. Suponha que
e
pertençam a F, ou seja,
e
. Então
Passo 4
Isso prova que
também satisfaz a condição, logo
.
Passo 5
Por fim, verificamos a multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Passo 6
Portanto,
também pertence a F.
Passo 7
Como F contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.
Resposta
Sim, F é um subespaço vetorial de E.