Encontre as soluções dos seguintes PVIs
\left(1+t^{2}\right) u^{\prime}+2 t u=2 t, u(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
(1+t^{2})\,u'(t)+2t\,u(t)=2t,\qquad u(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear em u.
  • A condição inicial é u(0)=1.
    O que se quer: achar a função u(t) definida em algum intervalo contendo t=0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
Dividindo a equação por 1+t^{2} (nota: 1+t^{2}>0 para todo t, logo a divisão é válida),
u'(t)+\frac{2t}{1+t^{2}}\,u(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Aqui identificamos as funções:
  • p(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} (coeficiente de u),
  • q(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} (termo independente).
    Vou usar o método do fator integrante para resolver a equação linear.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (didático):
  • Para uma equação da forma \;u'+p(t)u=q(t)\;, multiplica-se toda a equação por um fator \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)u(t).
  • Esse \mu(t) deve satisfazer \mu'(t)=\mu(t)p(t), isto é,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • Depois, reescreve-se a equação como \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)q(t) e integra-se.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t) usando p(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}.
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt\right).
Fazer a integral: como \dfrac{d}{dt}(1+t^{2})=2t, tem-se
\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\ln(1+t^{2}) + C_0.
Escolhe-se C_0=0 (constante multiplicativa no fator integrante pode ser tomada como 1), logo
\mu(t)=\exp\!\big(\ln(1+t^{2})\big)=1+t^{2}.
Observação: é por isso que a multiplicação por 1+t^{2} funciona bem aqui.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(t)=1+t^{2}. Voltando à forma antes da divisão, essa multiplicação restaura a equação original no formato de derivada:
(1+t^{2})u'(t)+2t\,u(t)=2t
é exatamente
\frac{d}{dt}\big((1+t^{2})\,u(t)\big)=2t.
Explicação: a derivada do produto é \dfrac{d}{dt}\big((1+t^{2})u\big)=(1+t^{2})u'+2t\,u, que coincide com o lado esquerdo da equação.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big((1+t^{2})u(t)\big)\,dt=\int 2t\,dt.
A integral do lado esquerdo dá o próprio produto, e a do direito é simples:
(1+t^{2})\,u(t)=t^{2}+C,
onde C é constante de integração. Agora isola-se u(t):
u(t)=\frac{t^{2}+C}{1+t^{2}}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial u(0)=1 para determinar C.
Substituindo t=0 em u(t)=\dfrac{t^{2}+C}{1+t^{2}} obtém-se
u(0)=\frac{0^{2}+C}{1+0^{2}}=\frac{C}{1}=C.
Como u(0)=1, segue C=1.

Passo 8

Com a constante C encontrada, a solução geral determinada no passo anterior fica com C=1, isto é u(t)=\dfrac{t^{2}+1}{1+t^{2}}. (A simplificação lógica dessa expressão leva a uma função constante, que conferiremos na resposta final.)

Resposta

u(t)=1

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