Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear em
. - A condição inicial é
.
O que se quer: achar a funçãodefinida em algum intervalo contendo que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
Dividindo a equação por (nota:
para todo
, logo a divisão é válida),
Dividindo a equação por
Aqui identificamos as funções:
-
(coeficiente de ), -
(termo independente).
Vou usar o método do fator integrante para resolver a equação linear.
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (didático):
- Para uma equação da forma
, multiplica-se toda a equação por um fator tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto . - Esse
deve satisfazer , isto é,
- Depois, reescreve-se a equação como
e integra-se.
Passo 4
Calcular o fator integrante
usando
.
Fazer a integral: como
, tem-se
Escolhe-se
(constante multiplicativa no fator integrante pode ser tomada como
), logo
Observação: é por isso que a multiplicação por
funciona bem aqui.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Voltando à forma antes da divisão, essa multiplicação restaura a equação original no formato de derivada:
é exatamente
Explicação: a derivada do produto é
, que coincide com o lado esquerdo da equação.
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá o próprio produto, e a do direito é simples:
onde
é constante de integração. Agora isola-se
:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substituindo em
obtém-se
Substituindo
Como
, segue
.
Passo 8
Com a constante
encontrada, a solução geral determinada no passo anterior fica com
, isto é
. (A simplificação lógica dessa expressão leva a uma função constante, que conferiremos na resposta final.)