Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI). As informações são:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
O que se pede:
- Encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
identificando aqui
A ideia do método (explicando devagar): para resolver uma equação nessa forma usa-se um fator integrante
que torna o lado esquerdo um derivada de produto. O fator integrante é definido por
Isso funciona porque, se
, então
, que coincide com
vezes o lado esquerdo da equação original.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Simplificando o lado direito:
Pelo que foi explicado, o lado esquerdo é a derivada de produto:
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (sempre aparece ao integrar).
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Este é o solução geral do PVI, com a constante
ainda a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Como
, segue que
.
(Verificação rápida do formato geral: derivando
e somando
obtém-se
, então a forma geral está correta para qualquer
.)