Encontre as soluções dos seguintes PVIs
\quad u^{\prime}+2 u=2 e^{-2 t}, u(0)=2

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI). As informações são:
  • A equação diferencial: u^{\prime}+2u=2e^{-2t}.
  • A condição inicial: u(0)=2.
O que se pede:
  • Encontrar a função u(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
u^{\prime}+p(t)u=g(t),
identificando aqui
p(t)=2,\qquad g(t)=2e^{-2t}.
A ideia do método (explicando devagar): para resolver uma equação nessa forma usa-se um fator integrante \mu(t) que torna o lado esquerdo um derivada de produto. O fator integrante é definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Isso funciona porque, se \mu=e^{\int p}, então (\mu u)^\prime=\mu u^\prime+\mu p u, que coincide com \mu vezes o lado esquerdo da equação original.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int 2\,dt\right)=\exp(2t)=e^{2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{2t} obtemos
e^{2t}u^{\prime}+2e^{2t}u=2e^{2t}e^{-2t}.
Simplificando o lado direito:
e^{2t}u^{\prime}+2e^{2t}u=2.
Pelo que foi explicado, o lado esquerdo é a derivada de produto:
\bigl(e^{2t}u(t)\bigr)^\prime=2.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(e^{2t}u(t)\bigr)^\prime dt=\int 2\,dt.
Isso dá
e^{2t}u(t)=2t+C,
onde C é a constante de integração (sempre aparece ao integrar).

Passo 5

Isolar u(t) dividindo por e^{2t}:
u(t)=e^{-2t}\bigl(2t+C\bigr).
Este é o solução geral do PVI, com a constante C ainda a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial u(0)=2. Substituindo t=0 na solução geral:
u(0)=e^{0}\bigl(0+C\bigr)=C.
Como u(0)=2, segue que C=2.
(Verificação rápida do formato geral: derivando u(t)=e^{-2t}(2t+C) e somando 2u obtém-se 2e^{-2t}, então a forma geral está correta para qualquer C.)

Resposta

u(t)=2\,(t+1)\,e^{-2t}

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