Encontre as soluções dos seguintes PVIs
\quad u^{\prime}+t u=\exp \left(-t^{2} / 2\right), u(1)=0

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
  • Equação diferencial: u^{\prime}+t\,u=\exp\!\left(-t^{2}/2\right).
  • Condição inicial: u(1)=0.
O que é pedido: encontrar a função u(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (domínio implícito) e que obedece à condição u(1)=0.

Passo 2

Vamos usar um método padrão para equações diferenciais de primeira ordem da forma u'+p(t)u=q(t). A ideia central é multiplicar a equação por um fator \mu(t) (chamado fator integrante) que transforme o lado esquerdo na derivada do produto \mu(t)u(t). Vou explicar passo a passo esse conceito:
  • Considere a equação geral u'+p(t)u=q(t).
  • Procura-se \mu(t) tal que \big(\mu(t)u(t)\big)'=\mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t) coincida com \mu(t)u'(t)+\mu(t)p(t)u(t). Isso exige \mu'(t)=\mu(t)p(t).
  • A equação \mu'(t)=\mu(t)p(t) é separável e sua solução é \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right) (constante multiplicativa pode ser absorvida depois).
  • Uma vez que \mu é encontrada, a equação original multiplicada por \mu fica \big(\mu u\big)'=\mu q. Integra-se ambos os lados para achar \mu u e, finalmente, u.
Resumo da fórmula de solução (que iremos aplicar): se \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right), então
u(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left(\int \mu(t)\,q(t)\,dt + C\right),
onde C é a constante determinada pela condição inicial.

Passo 3

Aplicando ao nosso PVI:
  • Identificamos p(t)=t e q(t)=\exp\!\left(-t^{2}/2\right).
  • Calculamos o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int t\,dt\right)=\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right).
  • Multiplicando a equação dada por \mu(t):
\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u' + t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u = \exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right).
  • Observe que o lado esquerdo é \big(\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u\big)' porque a derivada de \exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right) é t\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right). O lado direito simplifica:
\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)=1.
Portanto obtemos a equação simples
\big(\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u(t)\big)'=1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\exp\!\left(\tfrac{t^{2}}{2}\right)u(t)=\int 1\,dt = t + C,
onde C é constante de integração. Isolando u(t):
u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)\big(t + C\big).

Passo 5

Agora usamos a condição inicial u(1)=0 para determinar C. Substituindo t=1:
0 = u(1)=\exp\!\left(-\tfrac{1^{2}}{2}\right)\big(1 + C\big).
Como \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)\neq 0, segue que 1+C=0, logo C=-1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)\big(t-1\big).

Passo 6

Verificação rápida (apenas para ganhar confiança): calcular u'+t u e confirmar que dá \exp(-t^{2}/2).
  • Tome u(t)=(t-1)\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right).
  • Derivando (regra do produto):
u'(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right) + (t-1)\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)\big(-t\big).
  • Somando t u(t):
u'(t)+t u(t)=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)\big[1 - t(t-1) + t(t-1)\big]=\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right).
Confere com o lado direito da equação original, então a solução está correta.

Resposta

u(t)=(t-1)\exp\!\left(-\tfrac{t^{2}}{2}\right)

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