Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(domínio implícito) e que obedece à condição
.
Passo 2
Vamos usar um método padrão para equações diferenciais de primeira ordem da forma
. A ideia central é multiplicar a equação por um fator
(chamado fator integrante) que transforme o lado esquerdo na derivada do produto
. Vou explicar passo a passo esse conceito:
- Considere a equação geral
. - Procura-se
tal que coincida com . Isso exige . - A equação
é separável e sua solução é (constante multiplicativa pode ser absorvida depois). - Uma vez que
é encontrada, a equação original multiplicada por fica . Integra-se ambos os lados para achar e, finalmente, .
Resumo da fórmula de solução (que iremos aplicar): se
, então
onde
é a constante determinada pela condição inicial.
Passo 3
Aplicando ao nosso PVI:
- Identificamos
e . - Calculamos o fator integrante:
- Multiplicando a equação dada por
:
- Observe que o lado esquerdo é
porque a derivada de é . O lado direito simplifica:
Portanto obtemos a equação simples
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Isolando
:
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Como
, segue que
, logo
.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (apenas para ganhar confiança): calcular
e confirmar que dá
.
- Tome
. - Derivando (regra do produto):
- Somando
:
Confere com o lado direito da equação original, então a solução está correta.