Encontre as soluções dos seguintes PVIs
t u^{\prime}+u=2 t, u(1)=10,0<t

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI): \;t\,u'(t)+u(t)=2t,\;u(1)=10,\;t>0.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial: \;t\,u'(t)+u(t)=2t.\n
  • A condição inicial: \;u(1)=10.\n
    O que se pede: encontrar a função desconhecida \;u(t) definida para \;t>0 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por \;t (válido porque \;t>0) obtemos
u'(t)+\frac{1}{t}\,u(t)=2.
Aqui \;u(t) é a função incógnita e \;u'(t) é sua derivada em relação a \;t. Esta é uma equação linear da forma
u'+p(t)u=q(t),
com \;p(t)=\dfrac{1}{t} e \;q(t)=2.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante. Para resolver
u'+p(t)u=q(t)
usa-se um fator integrante \mu(t) tal que multiplicando a equação por \mu a esquerda vire a derivada de \mu u. Queremos \mu que satisfaça
(\mu u)'=\mu u'+\mu' u=\mu(u'+p u).
Isto exige \mu' = p\mu, cuja solução é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Portanto escolhe-se \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Essa fórmula transforma a equação em
(\mu u)'=\mu q,
que pode ser integrada diretamente.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como \;p(t)=\dfrac{1}{t},
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln t)=t,
válido em \;t>0 (onde \ln t está definido). Logo o fator integrante é \;\mu(t)=t.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \;t. Voltando à forma antes da divisão (ou multiplicando a forma padrão por \mu), obtemos
t\,u'(t)+u(t)=2t.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
(t\,u(t))' = t\,u'(t)+u(t).
Portanto a equação fica
(t\,u(t))' = 2t.
Agora integramos ambos os lados em relação a \;t:
\int (t\,u(t))'\,dt = \int 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,u(t)=t^{2}+C,
onde \;C é constante de integração.

Passo 6

Isolar \;u(t) e aplicar a condição inicial. Dividindo por \;t (novamente \;t>0):
u(t)=t+\frac{C}{t}.
Usar \;u(1)=10:
10 = 1 + \frac{C}{1} \quad\Rightarrow\quad C=9.
Assim a solução que satisfaz o PVI é
u(t)=t+\frac{9}{t},\qquad t>0.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular \;u'(t)=1-9/t^{2}. Então
t\,u'(t)+u(t)=t\Big(1-\frac{9}{t^{2}}\Big)+\Big(t+\frac{9}{t}\Big)=t-\frac{9}{t}+t+\frac{9}{t}=2t,
confirma que a solução satisfaz a equação diferencial e, por construção, satisfaz a condição inicial.

Resposta

u(t)=t+\frac{9}{t},\qquad t>0

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