Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI):
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação diferencial:
.\n - A condição inicial:
.\n
O que se pede: encontrar a função desconhecidadefinida para que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
) obtemos
Aqui
é a função incógnita e
é sua derivada em relação a
. Esta é uma equação linear da forma
com
e
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante. Para resolver
usa-se um fator integrante
tal que multiplicando a equação por
a esquerda vire a derivada de
. Queremos
que satisfaça
Isto exige
, cuja solução é
Portanto escolhe-se
. Essa fórmula transforma a equação em
que pode ser integrada diretamente.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como
,
válido em
(onde
está definido). Logo o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Voltando à forma antes da divisão (ou multiplicando a forma padrão por
), obtemos
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
Portanto a equação fica
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolar
e aplicar a condição inicial. Dividindo por
(novamente
):
Usar
:
Assim a solução que satisfaz o PVI é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular
. Então
confirma que a solução satisfaz a equação diferencial e, por construção, satisfaz a condição inicial.