Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
\begin{aligned} y_{1}^{\prime}(x) & =x / 2 \\ y_{2}^{\prime}(x) & =-3 y_{1} y_{2}-y_{1} .\end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} y_{1}'(x)=\tfrac{x}{2},\\[6pt] y_{2}'(x)=-3\,y_{1}(x)\,y_{2}(x)\;-\;y_{1}(x), \end{cases}
que envolve duas EDOs de primeira ordem acopladas mas com y_{1}' independente de y_{2}. O conteúdo é:
  1. Resolver a EDO para y_{1} por integração direta.
  2. Substituir y_{1}(x) em y_{2}' e reconhecer uma EDO linear em y_{2}.
  3. Usar fator integrante para resolver a EDO linear de y_{2}.]

Passo 2

Integramos a primeira equação
y_{1}'(x)=\tfrac{x}{2}
fazendo
y_{1}(x)=\int \tfrac{x}{2}\,dx=\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora y_{1}(x)=\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}. A segunda equação fica
y_{2}'(x)=-3\bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\bigr)\,y_{2}(x)\;-\;\bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\bigr).
Reescrevemos como EDO linear em y_{2}:
y_{2}'+P(x)\,y_{2}=Q(x),
onde
P(x)=3\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\Bigr), \quad Q(x)=-\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\Bigr).

Passo 4

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \bigl(\tfrac{3x^{2}}{4}+3C_{1}\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\Bigr).

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por \mu(x):
\bigl(y_{2}\,\mu\bigr)'=\mu\,Q(x) =-\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\Bigr)\,\exp\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\Bigr).
Reconhecemos que
\tfrac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\Bigr) =\tfrac{3x^{2}}{4}+3C_{1} =3\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\Bigr),
logo
-\Bigl(\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}\Bigr)\,e^{\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x} =-\tfrac{1}{3}\,\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\Bigr)\, e^{\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x}.

Passo 6

Integramos
\int \bigl(y_{2}\,\mu\bigr)' \,dx =\int -\tfrac{1}{3}\, \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\Bigr)\, e^{\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x}\,dx =-\tfrac{1}{3}\,e^{\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante. Assim
y_{2}(x)\,\mu(x) =-\tfrac{1}{3}\,\mu(x)+C_{2}.

Passo 7

Dividindo por \mu(x)=e^{\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x}, obtemos
y_{2}(x) =-\tfrac{1}{3} \;+\; C_{2}\,e^{-\bigl(\tfrac{x^{3}}{4}+3C_{1}x\bigr)}.

Resposta

As soluções gerais são
y_{1}(x)=\tfrac{x^{2}}{4}+C_{1}, \qquad y_{2}(x)=C_{2}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{x^{3}}{4}-3C_{1}x\bigr)\;-\;\tfrac{1}{3},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados