Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
com
Vamos usar o método de autovalores e autovetores: (i) achar o polinômio característico de
; (ii) obter as raízes
(autovalores); (iii) para cada
achar um autovetor
; (iv) escrever a solução geral como combinação linear de
.
Passo 2
Formamos o polinômio característico
Calculando a determinante por expansão na primeira linha e simplificando, obtém-se
ou seja
Passo 3
Resolvendo
testamos raízes inteiras e encontramos
. Fazendo divisão sintética, o quociente é
, cujas raízes são
Logo os autovalores são
Passo 4
Para
resolvemos
, i.e.
Das equações vem
e
. Tomando
, um autovetor é
Passo 5
Para
resolvemos
, i.e.
Dessas equações obtemos
e
. Tomando
, escolhemos
Passo 6
Para
resolvemos
, i.e.
Encontramos
e
. Tomando
, um autovetor é
Passo 7
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos
:
com constantes arbitrárias
.