Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
y_{1}^{\prime}(x)=-2 y_{1}-y_{2}-2 y_{3}
y_{2}^{\prime}(x)=-4 y_{1}-5 y_{2}+2 y_{3}
y_{3}^{\prime}(x)=-5 y_{1}-y_{2}+y_{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
\mathbf y' = A\,\mathbf y
com
A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2\\\\ -4 & -5 & 2\\\\ -5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de autovalores e autovetores: (i) achar o polinômio característico de A; (ii) obter as raízes \lambda (autovalores); (iii) para cada \lambda achar um autovetor \mathbf v; (iv) escrever a solução geral como combinação linear de e^{\lambda x}\mathbf v.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -2-\lambda & -1 & -2\\\\ -4 & -5-\lambda & 2\\\\ -5 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando a determinante por expansão na primeira linha e simplificando, obtém-se
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 -6\lambda^2 +9\lambda +54
ou seja
\lambda^3 +6\lambda^2 -9\lambda -54 = 0.

Passo 3

Resolvendo
\lambda^3 +6\lambda^2 -9\lambda -54 = 0,
testamos raízes inteiras e encontramos \lambda=3. Fazendo divisão sintética, o quociente é \lambda^2+9\lambda+18, cujas raízes são
\lambda = \frac{-9\pm\sqrt{9^2 -4\cdot1\cdot18}}{2} = \frac{-9\pm3}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda = -6,\;-3.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = -6,\quad \lambda_3 = -3.

Passo 4

Para \lambda_1=3 resolvemos (A-3I)\mathbf v=0, i.e.
\begin{pmatrix} -5 & -1 & -2\\\\ -4 & -8 & 2\\\\ -5 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix} =0.
Das equações vem v_3=-2v_1 e v_2=-v_1. Tomando v_1=1, um autovetor é
\mathbf v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=-6 resolvemos (A+6I)\mathbf v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 4 & -1 & -2\\\\ -4 & 1 & 2\\\\ -5 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix} =0.
Dessas equações obtemos v_3=v_1 e v_2=2v_1. Tomando v_1=1, escolhemos
\mathbf v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-3 resolvemos (A+3I)\mathbf v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\\\ -4 & -2 & 2\\\\ -5 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix} =0.
Encontramos v_2=-v_3 e v_1=v_3. Tomando v_3=1, um autovetor é
\mathbf v^{(3)} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^{\lambda_i x}\mathbf v^{(i)}:
\mathbf y(x) = C_1\,e^{3x} \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} + C_2\,e^{-6x} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + C_3\,e^{-3x} \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3.

Resposta

y_1(x) = C_1\,e^{3x} + C_2\,e^{-6x} + C_3\,e^{-3x},\quad y_2(x) = -C_1\,e^{3x} +2C_2\,e^{-6x} -C_3\,e^{-3x},\quad y_3(x) = -2C_1\,e^{3x} +C_2\,e^{-6x} +C_3\,e^{-3x}.

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