Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para:
A=\left(\begin{array}{cc}8 & -5 \\\\ 10 & -7\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs de primeira ordem
\boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x),
onde
A=\begin{pmatrix}8 & -5\\[6pt]10 & -7\end{pmatrix}.
Vamos usar o método de autovalores e autovetores: 1) calcular o polinômio característico de A, 2) encontrar os autovalores \lambda, 3) obter os autovetores v associados, e 4) montar a solução geral como combinação linear de e^{\lambda x}v.]

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}8-\lambda & -5\\[4pt]10 & -7-\lambda\end{pmatrix} =(8-\lambda)(-7-\lambda)-(-5)\cdot10.
Desenvolvendo,
(8-\lambda)(-7-\lambda)+50 =-56 -8\lambda +7\lambda +\lambda^2 +50 =\lambda^2 -\lambda -6.
Logo, resolvemos
\lambda^2-\lambda-6=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} =\frac{1\pm5}{2},
portanto
\lambda_1=3, \quad \lambda_2=-2.]

Passo 3

Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)v=0:
\begin{pmatrix}5 & -5\\[4pt]10 & -10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 5v_1-5v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1=v_2.
Podemos tomar v^{(1)}=(1,1)^T.
Para \lambda_2=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]10 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 10v_1-5v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_2=2v_1.
Podemos tomar v^{(2)}=(1,2)^T.]

Passo 4

Pela teoria de sistemas lineares com autovalores distintos, a solução geral é
\boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{\lambda_1 x}v^{(1)} +C_2 e^{\lambda_2 x}v^{(2)},
isto é
\boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{3x}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} +C_2 e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{3x}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_2 e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}. }

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