Encontre as soluções dos sistemas abaixo: Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para: A=\left(\begin{array}{cc}8 & -5 \\\\ 10 & -7\end{array}\right). Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs de primeira ordem \boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x), onde A=\begin{pmatrix}8 & -5\\[6pt]10 & -7\end{pmatrix}. Vamos usar o método de autovalores e autovetores: 1) calcular o polinômio característico de A, 2) encontrar os autovalores \lambda, 3) obter os autovetores v associados, e 4) montar a solução geral como combinação linear de e^{\lambda x}v.] Passo 2O polinômio característico de A é \det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}8-\lambda & -5\\[4pt]10 & -7-\lambda\end{pmatrix} =(8-\lambda)(-7-\lambda)-(-5)\cdot10. Desenvolvendo, (8-\lambda)(-7-\lambda)+50 =-56 -8\lambda +7\lambda +\lambda^2 +50 =\lambda^2 -\lambda -6. Logo, resolvemos \lambda^2-\lambda-6=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} =\frac{1\pm5}{2}, portanto \lambda_1=3, \quad \lambda_2=-2.] Passo 3Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)v=0: \begin{pmatrix}5 & -5\\[4pt]10 & -10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 5v_1-5v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_1=v_2. Podemos tomar v^{(1)}=(1,1)^T. Para \lambda_2=-2, resolvemos (A+2I)v=0: \begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]10 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 10v_1-5v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_2=2v_1. Podemos tomar v^{(2)}=(1,2)^T.] Passo 4Pela teoria de sistemas lineares com autovalores distintos, a solução geral é \boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{\lambda_1 x}v^{(1)} +C_2 e^{\lambda_2 x}v^{(2)}, isto é \boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{3x}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} +C_2 e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.] Resposta \boxed{ \boldsymbol{Y}(x) =C_1 e^{3x}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_2 e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}. } MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre as soluções dos sistemas abaixo: \begin{aligned} y_{1}^{\prime}(x) & =x / 2 \\ y_{2}^{\prime}(x) & =-3 y_{1} y_{2}-y_{1} .\end{aligned} Encontre as soluções dos sistemas abaixo: y_{1}^{\prime}(x)=-2 y_{1}-y_{2}-2 y_{3} y_{2}^{\prime}(x)=-4 y_{1}-5 y_{2}+2 y_{3} y_{3}^{\prime}(x)=-5 y_{1}-y_{2}+y_{3} Encontre as soluções dos sistemas abaixo: Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para: A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -4 & -1\end{array}\right). Encontre as soluções dos sistemas abaixo: Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para: A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ -10 & -2 & 0 \\\\ 10 & 6 & 1\end{array}\right).