Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para:
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -4 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs homogêneo de coeficientes constantes
\boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt] -4 & -1\end{pmatrix},
e \boldsymbol{Y}(x)=(y_1(x),y_2(x))^T.
O conteúdo aqui é sistemas lineares de ordem 1 com matriz triangular, que permite desacoplar a primeira equação e depois resolver a segunda usando fator integrante.]

Passo 2

Observe que da primeira linha de \boldsymbol{Y}'=A\boldsymbol{Y} vem
y_1'(x)=1\cdot y_1(x)+0\cdot y_2(x)\quad\Longrightarrow\quad y_1'(x)=y_1(x).
Essa é uma EDO elementar de 1º ordem, cuja solução geral é
y_1(x)=C_1\,e^{x},
com C_1 constante arbitrária.

Passo 3

Agora use y_1(x)=C_1e^{x} na segunda linha do sistema:
y_2'(x)=-4\,y_1(x)-1\cdot y_2(x) \quad\Longrightarrow\quad y_2'(x)+y_2(x)=-4\,C_1e^{x}.
Para resolver
y_2'+y_2=-4C_1e^x
usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^{x}. Multiplicando tudo por e^{x} obtém-se
e^{x}y_2'(x)+e^{x}y_2(x)=(e^{x}y_2(x))'=-4C_1e^{2x}.

Passo 4

Integramos em x:
e^{x}y_2(x)=-4C_1\int e^{2x}dx + C_2 =-4C_1\cdot\frac{e^{2x}}{2}+C_2 =-2C_1e^{2x}+C_2,
onde C_2 é constante de integração. Logo
y_2(x)=e^{-x}\bigl(-2C_1e^{2x}+C_2\bigr) =-2C_1e^{x}+C_2e^{-x}.

Passo 5

Reescrevendo em forma vetorial, a solução geral do sistema é
\boldsymbol{Y}(x) =\begin{pmatrix}y_1(x)\y_2(x)\end{pmatrix} =C_1e^{x}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} \;+\;C_2e^{-x}\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{\boldsymbol{Y}(x) =C_1e^{x}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} +C_2e^{-x}\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.}

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