Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
y_{1}^{\prime}(x)=y_{1}+2 y_{2}
y_{2}^{\prime}(x)=-3 y_{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem
\begin{cases} y_{1}'(x)=y_{1}(x)+2\,y_{2}(x),\\\ y_{2}'(x)=-3\,y_{2}(x), \end{cases}
que podemos resolver primeiro para y_{2} (pois está desacoplada) e depois obter y_{1} por substituição.

Passo 2

Para y_{2} temos a equação
y_{2}'(x)=-3\,y_{2}(x),
que é uma equação de variável separável cujo solução geral é
y_{2}(x)=C_{2}\,e^{-3x},
onde C_{2} é constante de integração.

Passo 3

Substituindo y_{2}(x)=C_{2}e^{-3x} em
y_{1}'(x)-y_{1}(x)=2\,y_{2}(x),
ficamos com
y_{1}'(x)-y_{1}(x)=2\,C_{2}\,e^{-3x}.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato y_{1}'-y_{1}=f(x). O fator integrante é
\mu(x)=e^{\displaystyle\int{-1}\,dx}=e^{-x},
de modo que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y_{1}(x)\bigr)=e^{-x}\,y_{1}'(x)-e^{-x}\,y_{1}(x) =e^{-x}\bigl(y_{1}'(x)-y_{1}(x)\bigr) =2\,C_{2}\,e^{-4x}.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x,
e^{-x}y_{1}(x)=2\,C_{2}\int e^{-4x}\,dx =2\,C_{2}\Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\Bigr)+C_{1} =-\tfrac{1}{2}C_{2}\,e^{-4x}+C_{1},
onde C_{1} é nova constante de integração. Multiplicando por e^{x}, obtemos
y_{1}(x)=C_{1}\,e^{x}-\tfrac{1}{2}C_{2}\,e^{-3x}.

Resposta

A solução geral do sistema é
y_{1}(x)=C_{1}\,e^{x}-\tfrac{1}{2}C_{2}\,e^{-3x}, \qquad y_{2}(x)=C_{2}\,e^{-3x},
com C_{1} e C_{2}$ constantes arbitrárias.á

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