Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
y_{1}^{\prime}(x)=5 y_{1}-y_{2}
y_{2}^{\prime}(x)=3 y_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} y_{1}'(x)=5\,y_{1}(x)-y_{2}(x),\\\ y_{2}'(x)=3\,y_{2}(x). \end{cases}
O segundo equação está desacoplada, então primeiro vamos achar y_{2}(x) e depois usar esse resultado na equação de y_{1}.

Passo 2

Resolvendo
y_{2}'(x)=3\,y_{2}(x),
temos uma EDO de variável separável/exponencial cujo resultado geral é
y_{2}(x)=C_{2}e^{3x},
onde C_{2} é constante arbitrária.

Passo 3

Substituindo y_{2}(x)=C_{2}e^{3x} em
y_{1}'(x)=5\,y_{1}(x)-y_{2}(x)
obtemos
y_{1}'(x)-5\,y_{1}(x)=-C_{2}e^{3x}.
Esta é uma EDO linear de primeira ordem. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int(-5)\,dx}=e^{-5x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\bigl(y_{1}e^{-5x}\bigr)'=-C_{2}e^{3x}e^{-5x}=-C_{2}e^{-2x}.
Integrando ambos os lados em relação a x, vem
y_{1}(x)e^{-5x} =\int -C_{2}e^{-2x}\,dx =-C_{2}\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)+C_{1} =\tfrac{C_{2}}{2}e^{-2x}+C_{1},
onde C_{1} é outra constante de integração. Logo
y_{1}(x) =C_{1}e^{5x}+\frac{C_{2}}{2}e^{3x}.

Resposta

y_{1}(x)=C_{1}e^{5x}+\frac{C_{2}}{2}e^{3x}, \quad y_{2}(x)=C_{2}e^{3x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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