Encontre as soluções dos sistemas abaixo:
Resolva \boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x), para:
A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ -10 & -2 & 0 \\\\ 10 & 6 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear de EDOs de ordem 1
\boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x)
onde
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ -10 & -2 & 0\\\\ 10 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar Álgebra Linear para encontrar autovalores e autovetores de A e, a partir deles, montar a solução geral.

Passo 2

A matriz A é triangular inferior, logo seus autovalores são os elementos da diagonal. Portanto
\lambda_{1}=3,\quad \lambda_{2}=-2,\quad \lambda_{3}=1.

Passo 3

Para \lambda_{1}=3 resolvemos (A-3I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -10 & -5 & 0\\\\ 10 & 6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações reduzem-se a
2v_{1}+v_{2}=0,\quad -2v_{1}-2v_{3}=0
que levam a v_{2}=-2v_{1} e v_{3}=-v_{1}. Tomando v_{1}=1, um autovetor correspondente é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_{2}=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\\\ -10 & 0 & 0\\\\ 10 & 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
implica v_{1}=0 e 2v_{2}+v_{3}=0. Tomando v_{2}=1 gera
v^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
Para \lambda_{3}=1 resolvemos (A-I)v=0:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ -10 & -3 & 0\\\\ 10 & 6 & 0 \end{pmatrix}v=\boldsymbol{0}
v_{1}=0, v_{2}=0 e v_{3} livre. Tomando v_{3}=1, obtemos
v^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos \exp(\lambda_i x)\,v^{(i)}. Logo
\boldsymbol{Y}(x) =C_{1}e^{3x}\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-2x}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} +C_{3}e^{\,x}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes arbitrárias.

Resposta

\boldsymbol{Y}(x) =C_{1}e^{3x}\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-2x}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} +C_{3}e^{\,x}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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