Escreva e resolva a equação de segunda ordem equivalente aos sistemas boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x)+\boldsymbol{b}, \mathrm{com}: A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -17 & -2\end{array}\right) e \boldsymbol{b}=\binom{0}{e^{-x} \cos 4 x}
O objetivo é escrever a equação de segunda ordem equivalente para y(x)=y_1(x) e depois resolver essa ODE linear de coeficientes constantes não homógenea.
Passo 2
Do sistema extraímos
y_1'=y_2, \qquad y_2'=-17y_1-2y_2+e^{-x}\cos4x.
Derivando a primeira equação, obtemos
y_1''=y_2'=-17y_1-2y_1'+e^{-x}\cos4x.
Reescrevendo em forma padrão, a equação de segunda ordem é
\boxed{y''+2y'+17y=e^{-x}\cos4x.}
Passo 3
Para resolver a ODE, primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y''+2y'+17y=0.
A equação característica é
r^2+2r+17=0 \quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm4i.
Logo
y_h(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos4x+C_2\sin4x\bigr).
Passo 4
Agora buscamos um particular de
y''+2y'+17y=e^{-x}\cos4x.
Como e^{-x}\cos4x já aparece em y_h, há ressonância. Tomamos o ansatz
y_p(x)=x\,e^{-x}\bigl(A\cos4x+B\sin4x\bigr).
Substituindo em y''+2y'+17y e igualando ao termo forçante, chega-se aos sistemas para A,B. Após cálculo, obtém-se