Escreva e resolva a equação de segunda ordem equivalente aos sistemas boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x)+\boldsymbol{b}, \mathrm{com}:
A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -17 & -2\end{array}\right) e \boldsymbol{b}=\binom{0}{e^{-x} \cos 4 x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x)+\boldsymbol{b}(x),
onde
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -17 & -2\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}(x)=\begin{pmatrix}0\e^{-x}\cos4x\end{pmatrix}.
O objetivo é escrever a equação de segunda ordem equivalente para y(x)=y_1(x) e depois resolver essa ODE linear de coeficientes constantes não homógenea.

Passo 2

Do sistema extraímos
y_1'=y_2, \qquad y_2'=-17y_1-2y_2+e^{-x}\cos4x.
Derivando a primeira equação, obtemos
y_1''=y_2'=-17y_1-2y_1'+e^{-x}\cos4x.
Reescrevendo em forma padrão, a equação de segunda ordem é
\boxed{y''+2y'+17y=e^{-x}\cos4x.}

Passo 3

Para resolver a ODE, primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y''+2y'+17y=0.
A equação característica é
r^2+2r+17=0 \quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm4i.
Logo
y_h(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos4x+C_2\sin4x\bigr).

Passo 4

Agora buscamos um particular de
y''+2y'+17y=e^{-x}\cos4x.
Como e^{-x}\cos4x já aparece em y_h, há ressonância. Tomamos o ansatz
y_p(x)=x\,e^{-x}\bigl(A\cos4x+B\sin4x\bigr).
Substituindo em y''+2y'+17y e igualando ao termo forçante, chega-se aos sistemas para A,B. Após cálculo, obtém-se
A=0, \quad B=\tfrac18.
Portanto
\boxed{y_p(x)=\frac{x}{8}\,e^{-x}\sin4x.}

Passo 5

A solução geral da equação não homógenea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =e^{-x}\bigl(C_1\cos4x+C_2\sin4x\bigr) +\frac{x}{8}\,e^{-x}\sin4x.
Dessa forma, a solução do sistema original fica
\boldsymbol{Y}(x) =\begin{pmatrix}y(x)\y'(x)\end{pmatrix}.

Resposta

A equação de segunda ordem equivalente é
y''+2y'+17y=e^{-x}\cos4x,
cuja solução geral é
y(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos4x+C_2\sin4x\bigr) +\frac{x}{8}\,e^{-x}\sin4x.

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