Encontre a soma da série.
sumn=0^infty x^n+1(n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série
sumn=0^inftyx^n+1(n+1)!
Isso envolve séries de potências e, em particular, a expansão de Taylor da função exponencial. Vamos usar mudança de índice e a série de e^x.

Passo 2

Definimos k = n + 1. Quando n varia de 0 a infty, k varia de 1 a infty. Assim a soma original vira
sumk=1^inftyx^kk!

Passo 3

Lembrando a série de Taylor de e^x:
e^x = sumk=0^inftyx^kk!
Portanto, a soma de k=1 a infty é igual a e^x menos o termo de k=0.

Passo 4

O termo correspondente a k=0 é
x^00!=1
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sumk=1^inftyx^kk!=e^x-1

Resposta

e^x - 1

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