Encontre a soma da série.
sumn=0^infty x^n2^n(n+1)!

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=0^infty x^n2^n(n+1)!
O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências e uso da expansão de e^t. Vamos precisar reconhecer essa soma como uma forma modificada da série de Taylor de e^t.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = x2,
para reescrever a série de forma mais simples. Assim a soma fica
S = sumn=0^infty t^n(n+1)!

Passo 3

Para usar a série de e^t, fazemos a troca de índice k = n+1. Então quando n varia de 0 a infty, k varia de 1 a infty, e
S = sumk=1^infty t^,k-1k! = 1tsumk=1^infty t^,kk! = 1tl(e^t-1r)

Passo 4

Voltando a x pela relação t = x/2, temos
S = 1x/2l(e^x/2-1r) = 2l(e^x/2-1r)x

Resposta

boxedsumn=0^infty x^n2^n(n+1)! = 2l(e^x/2-1r)x

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