Encontre a soma da série sumn=1^infty(3n(n+1)+13^n).

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^inftyl(3n(n+1)+13^nr)
Para resolver usamos duas ideias clássicas: decomposição em frações parciais que leva a uma soma telescópica e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Vamos separar a soma em
S1 = sumn=1^infty3n(n+1) e S2 = sumn=1^infty13^n
Começando por S1, decompomos em frações parciais:
3n(n+1) =3l(1n-1n+1r)

Passo 3

A soma parcial de S1 até N é
sumn=1^N3l(1n-1n+1r) =3l(1 - tfrac12 + tfrac12 - tfrac13 + cdots + tfrac1N-tfrac1N+1r) =3l(1 - 1N+1r)
Fazendo Ntoinfty, temos
S1 = 3l(1 - 0r) = 3

Passo 4

Agora S2 é uma série geométrica de primeira parcela a=tfrac13 e razão r=tfrac13. Logo
S2 = sumn=1^infty13^n = a1-r = tfrac131-tfrac13 = tfrac13tfrac23 = 12

Passo 5

Bast a somar os dois resultados:
S = S1 + S2 = 3 + tfrac12 = tfrac72

Resposta

72

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