integral x-1x^2+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x - 1x^2 + 2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração onde o numerador é x - 1 e o denominador é x^2 + 2. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral em duas partes mais simples e usar algumas técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral x - 1x^2 + 2 , dx = integral xx^2 + 2 , dx - integral 1x^2 + 2 , dx
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral xx^2 + 2 , dx.
Aqui, usamos uma técnica chamada substituição. Vamos deixar u = x^2 + 2. Então, du = 2x , dx, ou seja, x , dx = du2.
Substituindo na integral:
integral xx^2 + 2 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C
Voltando para u = x^2 + 2:
12 ln(x^2 + 2) + C

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte: integral 1x^2 + 2 , dx.
Essa integral tem a forma integral 1x^2 + a^2 , dx, cuja solução é 1a tan^-1(xa) + C, onde a é uma constante.
Aqui, a^2 = 2, então a = raiz2.
Aplicando a fórmula:
integral 1x^2 + 2 , dx = 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral x - 1x^2 + 2 , dx = 12 ln(x^2 + 2) - 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

Resposta

A integral integral x - 1x^2 + 2 , dx é igual a:
12 ln(x^2 + 2) - 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
onde C é a constante de integração.

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